Re: [微積] 兩題IVT(中間值定理)

[ERT312 (312)]

※ 引述《NTUclyeng (yeng)》之銘言：
: 在讀微積分的時候，碰到了兩題不知道該如何下手的中間值定理題目，麻煩神人幫我解惑。
: Ex1:
: f(x) is continuous on R with period 2pi (i.e. f(x)=f(x+2pi))
: Show that exist x0 屬於(符號我打不出來QQ) (0,pi) s.t. f(x0)=f(x0+pi)
: Ex2:
: f(x) is continuous on [0,2] with f(0)=f(2)
: Show that exist x,y s.t. |x-y|=1 and f(x)=f(y)
Ex1:Let g(x)=f(x)-f(x+π)
g(0)=f(0)-f(π)
g(π)=f(π)-f(2π)
g(0)+g(π)=0
g(0)=-g(π)
因此g(0)=g(π)=0 或者異號
喔喔
題目的確要改一下x0屬於 [0,π]
不管g(0),g(π)都是0還是異號
都會存在 x0 屬於[0,π] s.t.f(x0)=f(x0+pi)

Ex2:
Let g(x)=f(x)-f(x+1)
接下來跟上面差不多....
補一下好了
既然原po主要是問第二題
g(0)=f(0)-f(1)
g(1)=f(1)-f(2)
因此 g(0)+g(1)=0
g(0),g(1)都是0或是異號
總之存在 x0 使得 g(x0)=0
亦即 g(x0)=f(x0)-f(x0+1)=0
取 x=x0,y=x0+1
因此存在x,y s.t. |x-y|=1 and f(x)=f(y)
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※ 編輯: ERT312 (218.164.79.104), 09/30/2018 11:44:36
推 martin880501: 感謝 但是想再問一個問題是 g(x0)=0 不是代表f(x)=f
→ martin880501: (x+1) 怎麼就直接說存在x,y s.t.|x-y|=1 and f(x)=f
→ martin880501: (y)呢
※ 編輯: ERT312 (218.164.79.104), 09/30/2018 12:15:53
→ Vulpix      : x=x0,y=x0+1