[代數] 將畢氏三元數兩邊比例趨近某值的方法

[kilva (嗡嗡)]

假設我們要找一個畢氏三元數，其兩邊的比例會趨近於3，則可以寫個暴力解
的程式，得出

12 5
35 12
609 200
936 310
1333 444
13328 4446
23091 7700
35520 11842
50615 16872
876885 292292

的數列。其中，每對數字均為畢氏三元數的兩邊，且其比例會趨近於3。

請問，除了用暴力解之外，有沒有更快的方法可以找到其比例趨近某值的兩邊
數值。

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→ Ricestone   : 這暴力解是直接用畢氏三元數公式一個一個代？
Python原始程式如下：
B=1
for i in range(1,1000):
    for j in range(1,1000):
        a=abs(i**2-j**2)
        b=2*i*j
        if abs(3-a/b)<B:
            B=abs(3-a/b)
            print(a,b)
※ 編輯: kilva (114.42.44.90), 10/03/2018 00:12:02
※ 編輯: kilva (114.42.44.90), 10/03/2018 00:14:30
→ Ricestone   : 看起來所謂的兩邊指的是兩股對吧？
是的。
※ 編輯: kilva (114.42.44.90), 10/03/2018 00:17:53
推 Vulpix      : for j in range(1,i-1):  這樣後面的a=abs(...)可以
→ Vulpix      : 少算abs，而且重複的組數也大為下降。
→ Vulpix      : 然後是結論：其實你只要找√10-3的有理數逼近就好。
→ Vulpix      : 任意比例(應該是有理數吧)c, 0.5(i/j - j/i)≒c
→ Vulpix      : 所以你想找的i/j大概跟這樣的x差不多：x-1/x=2c。
→ Vulpix      : x=√(1+c^2)-c，然後就是找個適合的數列逼近x。
→ Vulpix      : 重新看看公式，其實我們在找斜邊和一股之間的差距。
推 Desperato   : sqrt(10)-3的有理逼近會自動成為畢式三元組嗎
推 Desperato   : 噢噢懂了 好方法
推 Sfly        : 這可以用Pell eq.
推 Vulpix      : 嗯，x_{n+1}=2c+1/x_n這樣的遞迴式就很好用了。
→ Vulpix      : c=3，所以剛好是連分數，i,j的互質問題也更單純。
→ Vulpix      : 還保證它們愈來愈大。