[微積] 一些關於端點微分判斷的正確觀念

[alan23273850 (God of Computer Science)]

各位板友好，洨弟好久沒在板上發文ㄌ，是說洨弟這學期續接了微積分助教，

為了生活費接下批改作業的重責大任，遇到了一些問題，主要關於端點微分判斷。

當然直接套定義可以很簡單算，可是初學者會用一些旁門左道作答。

先拿一個題目當開場白：

給定 f(x) = x^2 * sin(1/x) if x =\= 0, = 0 if x = 0，

https://imgur.com/8vkIXJD

請問 f'(0) 存不存在？

這題答案是存在的，當然套定義可以簡單看出，因為右導左導都是 0。

可是如果對 x^2 * sin(1/x) 作 chain rule 會發現 f'(0+) 和 f'(0-) 都會震盪。

這很不直覺，明明不管多靠近都會震盪，最後微分卻會變成 0。

不知道針對這個問題是不是有直觀解釋？這是我第一個問題。

接下來是問 f(x) = x * |x| 在 x = 0 可不可以微分？

答案是可以，卻有人用 f'(0+) = f'(0-) = 0 且 f 在 x = 0 連續來解釋。

不知道這樣解釋可ㄅ可以？

總之，我想弄清楚判斷端點 x = a 微分與 f'(a+)、f'(a-) 之間的關係。

微分存在 <==> f+'(a) 與 f-'(a) 相等且存在，這是已知的定義。

那麼，f 在 x = a 連續且 f'(a+) 與 f'(a-) 存在且相等 or 不存在 <==> 微分存在，

這句話對不對ㄋ～ 可以靠定義證明ㄇ 這是我第二個問題。

有正確回答第一個或第二個問題的板友前三名各可獲得每題最多 250P，

若沒有滿三名，剩下的獎金會回流給優先完整回答ㄉ板友，

也就是說我至多會貢獻出 250P * 2 * 3 = 1500P，跪求眾板友解答 R ～

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.218.7
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※ 編輯: alan23273850 (140.112.218.7), 10/11/2018 00:27:33
推 yyc2008     : 第一個問題x^2 * sin(1/x)在x=0處f'(0)存在且為0是
→ yyc2008     : 因為人工加了f(0)=0 as x=0
→ yyc2008     : 如果只有x^2 * sin(1/x) 是不包含x=0的 所以f'(x)真
→ yyc2008     : 正要寫為2xsin(1/x)-cos(1/x)當x!=0,且f'(0)=0分開
→ yyc2008     : 定義 如果一開始沒有定義f(x)=0當x=0就根本沒有f'(0
→ yyc2008     : 這種情況下就是任f'(0+-)不斷震盪 沒有衝突
→ yyc2008     : 所以我們不能說f'(0+)和f'(0-)相等 這是一個函數在
→ yyc2008     : 該處可微分但是微分後不連續的例子
→ yyc2008     : 由定義做f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)當x!=0  =0當x=0
謝謝大大極熱心地回覆了好多ＸＤ 顯然您缺批幣對ㄅ

推 yyc2008     : 第二個問題f'(0+) = f'(0-) = 0 且 f 在 x = 0 連續
→ yyc2008     : 這個沒問題阿 直接套入微分定義 f(0)=0 套入定義做
→ yyc2008     : f'(0+) = 0 f'(0-) = 0 極限左 = 右 微分存在阿
→ yyc2008     : f在x=a連續且f'(a+)與f'(a-)存在且相等<=>微分存在
→ yyc2008     : 另外,你覺得x^2 * sin(1/x)在x=0處連續嗎?不對吧 這
→ yyc2008     : 可能就是你的徵結所在 所以題目才要定義f(x)=0當x=0
→ yyc2008     : 怕第一題回答被誤解f'(x)分開成x!=0和x=0不是人工定
→ yyc2008     : 義,是直接由題目人工定義的函數導出來的
→ yyc2008     : 我更正一下 提目定義的x^2 * sin(1/x)在x=0處連續
→ yyc2008     : 因為加了f(x)=0當x=0 如果沒有題目人工放進f(0)=0
→ yyc2008     : 純粹x^2 sin(1/x)在x=0是不連續的
如果確定靠定義可以證明 f在x=a連續且f'(a+)與f'(a-)存在且相等==>微分存在，
我會試試～　掰惹位反向未必成立，不過如果f'(a+)與f'(a-)都不存在可能就又可以惹。

推 yyc2008     : 第一題直觀的解釋 f(x)是奇函數 f'(|a|)=f'(-|a|)
→ yyc2008     : 本來在x=0的兩旁一直震盪，現在因題目人工強制f(0)=
→ yyc2008     : 0把震盪強壓成連續函數 所以最後震盪效果平均掉
再次感謝ＸＤ

→ Ricestone   : https://goo.gl/Pw46kX
這篇寫得不錯～

→ yyc2008     : 使題目的函數為連續 也就是震盪被壓制水平掉 所以在
→ yyc2008     : f'(0)=0 但是只要不是x=0 就算在x=0附近 還是有震盪
→ yyc2008     : 震盪在x=0處被人工定義的f(0)=0所水平掉 使f'(0)=0
→ yyc2008     : 但是人工定義f(0)=0的部份並不會影響到x!=0的函數性
→ yyc2008     : 質 大概就是這樣
謝謝大大耐心補充

→ Ricestone   : 抱歉，我以為那邊你剛好講完，斷到了
推 yyc2008     : 沒關係 甭介意
推 sunev       : 令g=f'，簡單來說就是g在0不連續，所以g(0+)!=g(0)
謝謝大大提到微分連續的觀念～

對惹批幣我統一星期六再來統計，基本上有回有批，不用拘泥於前三名

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作業已批改完畢，感謝各路好手挺身相助，這邊公布一下批幣分配：

yyc2008: 500P
Ricestone: 250P
sunev: 50P
※ 編輯: alan23273850 (140.112.77.165), 10/12/2018 20:36:11
推 prmea       : 可微就一定連續
→ prmea       : 有個函數處處連續但不可微