Re: [微積] 一些關於端點微分判斷的正確觀念

[ERT312 (312)]

※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之銘言：
: 各位板友好，洨弟好久沒在板上發文ㄌ，是說洨弟這學期續接了微積分助教，
: 為了生活費接下批改作業的重責大任，遇到了一些問題，主要關於端點微分判斷。
: 當然直接套定義可以很簡單算，可是初學者會用一些旁門左道作答。
: 先拿一個題目當開場白：
: 給定 f(x) = x^2 * sin(1/x) if x =\= 0, = 0 if x = 0，
: https://imgur.com/8vkIXJD
: 請問 f'(0) 存不存在？
: 這題答案是存在的，當然套定義可以簡單看出，因為右導左導都是 0。
: 可是如果對 x^2 * sin(1/x) 作 chain rule 會發現 f'(0+) 和 f'(0-) 都會震盪。
: 這很不直覺，明明不管多靠近都會震盪，最後微分卻會變成 0。
就是因為不直覺才能顯現出這種例子的價值
(這樣答應該是撈不到p幣
所以等等回答第二題)
: 不知道針對這個問題是不是有直觀解釋？這是我第一個問題。
: 接下來是問 f(x) = x * |x| 在 x = 0 可不可以微分？
: 答案是可以，卻有人用 f'(0+) = f'(0-) = 0 且 f 在 x = 0 連續來解釋。
: 不知道這樣解釋可ㄅ可以？這是我第二個問題。
這次學妹(?)還真的說對了
以下證明...
若函數 f: R→R 在 (a-ε,a) 以及 (a,a+ε) 可微
且在 [a-ε,a+ε] 連續， for some ε>0
且 f'(a-)、f'(a+)都存在且相等
則 f'(a) 存在，且 f'(a)=f'(a-)=f'(a+)
pf:
因 f 在 (a-ε,a) 可微，且在 [a-ε,a] 連續
by MVT
存在 α \in (a-ε,a) such that

        f(a)-f(a-ε)
f'(α)= ------------       (*)
            ε

by MVT again
存在 β\in (a,a+ε) such that

        f(a+ε)-f(a)
f'(β)= ------------       (**)
             ε

第*式讓 ε→0+，則 α→a-

因f'(a-)存在，所以 f'(a-)=f'-(a)

第**式讓 ε→0+，則 β→a+

因f'(a+)存在，所以 f'(a+)=f'+(a)

又 f'(a-)=f'(a+) ，因此 f'-(a)=f'+(a)

因此 f'-(a)=f'+(a)=f'(a)

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※ 編輯: ERT312 (218.164.188.241), 10/11/2018 09:46:41
推 alan23273850: 感謝大大詳盡的回覆，這個證明有touch到我，我有把
→ alan23273850: 它寫進公開在課堂上的詳解了
→ alan23273850: 因為這個答案遠超過我的期望，我願意奉送 500P
推 Vulpix      : lim_{β→a+} f'(β)=f'(a+)這邊好像不夠充分。
→ Vulpix      : 因為極限需要a右邊所有的β，可是我們的β都是用ε
→ Vulpix      : 選出來的，很可能沒有涵蓋到所有該涵蓋到的數字。
→ ERT312      : f'(a+)存在是已給的條件，β不用涵蓋整個區間
→ ERT312      : 有個定理是這樣:若lim_{x→a} f(x)=α，則對所有收
→ ERT312      : 歛到a的數列 a_n→a，且a_i≠a，有f(a_n)→α as
→ ERT312      : n→∞
推 Vulpix      : lim_{β→a+}f'(β)=lim_{ε→0+}[f(a+ε)-f(a)]/ε
推 Vulpix      : 啊，對，我把符號弄混了。先存在的是LHS。