[分析] isomorphism in R^k, homeomorphism ?

[annboy (BlueGun)]

標題這樣下感覺有瑕疵，詳細的問題如下圖畫線部分所示 :

https://i.imgur.com/HvEpm2e.jpg

圖是Rudin , Real and Complex analysis ,3e

書中Theorem 2.20證明中的一部分。



符號R^k 是指k-dimensional Euclidean space

這個linear transformation T  就只有R^k -> R^k 這樣一個條件。

T是一個isomorphism 是比較明顯的。

但是一行就直接跳到T也是homeomorphism ......

不知道Rudin老師的基礎線性代數是指哪一本......



找了一些方法，有個想法是像同一本書chap.5 裡面(其實還沒看到那)，

去定義T的norm，||T||，這樣只要T是bounded，那T跟T^(-1)就都是continuous

但這樣的T，一定是bounded嗎?





想請問的是如圖畫線第二句的證明，用定理的話，希望盡量最接近定義的

以上問題感謝


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.173.73.199
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→ arthurduh1  : 你只需要再知道這個 linear trans. 是 conti.
→ arthurduh1  : 其實就是你找到那個, 但因為這裡的 dim. finite
→ arthurduh1  : 所以一定會 bounded
→ arthurduh1  : 至於這個上界可以用柯西不等式造
→ arthurduh1  : 另外線代是上一句講反函數也是 linear trans.
→ arthurduh1  : 下一句的 homeomorphism 就不必然與其相關了
感謝，我剛繼續往bounded去想，有個想法是:
把R^k一組基底假設出來，比如說是{e_i}，然後{ T(e_i) } 裡必有norm最大的一個
接著證下去似乎能證明 ||T||有限 !!

→ Vulpix      : ||T||有限是因為||T(v)||在compact set上取值。
→ arthurduh1  : 樓上是用連續的性質嗎? 但這裡要證 T 連續
→ arthurduh1  : 換成 ||T(v)|| 會比較容易看嗎?
今天我也一直想起"f continuous，K compact , then f(K) compact." 這個定理。
因為很多定理都假設f continuous或Borel measurable，
突然之間沒conti. 好像甚麼都不會了的感覺。
後來是寫成這樣，字有點醜，麻煩各位過目一下 :
https://i.imgur.com/YoMPtBn.jpg
我是用這本書的定義
||T|| = sup{||Tx|| : x屬於R^k,||x|| <= 1  }

→ Vulpix      : 我覺得不會……雖然||T||可以用eigenvalue來看。
→ Vulpix      : 我是用了連續函數沒錯。但如果要證明連續，用
→ Vulpix      : x→0 => x的坐標(有k個)→0 => Tx→0 這樣就好了。
→ Vulpix      : 所有的東西都展開到基底上看係數。
※ 編輯: annboy (1.173.73.199), 10/14/2018 20:22:34
→ arthurduh1  : 嗯對這樣比較自然, 畢竟 ||T|| 是後面章節的內容