Re: [中學] 一題求面積

[oaoa0123 (OldFlame)]

※ 引述《talrusha (黑桃Ace)》之銘言：
: 如圖，讀國中妹妹碰到的題目，小魯不才數學都還老師了@@
: https://imgur.com/RIiHJI2
: 已知矩形邊長 AB為15 AD為8 ，且紅色區域面積為9
: 求三角形 BPD面積
: 感謝各位大大相助!!

增加輔助線和交點名稱如附圖
https://imgur.com/OSxpPib

先想像一下如果我們知道DP有多長
就可以透過相似形求出我畫的兩個三角形的高
也就可以求得紅色面積了

所以我們令DP=x, CP=y, x+y=15

(1) 求QH1

PH1 : H1D = PQ : QA = DP : AB = x : 15
QH1 : AD = PH1 : PD = x : x+15

所以 QH1 = 8x/(x+15)

(2) 同樣的方法求SH2 (因為是對稱的，其實只需換變數名稱)

PH2 : H2C = PS : SB = PC : AB = y : 15
SH2 : BC = PH2 : PC = y : y+15

SH2 = 8y/(y+15)

(3) 代入條件解方程式

紅色面積 = ΔCDR - ΔDPQ - ΔCPS
9 = (1/4)*8*15 - (1/2)*x*[8x/(x+15)] - (1/2)*y*[8y/(y+15)]
4x^2/(x+15) + 4y^2/(y+15) = 21
4x^2(y+15) + 4y^2(x+15) = 21(x+15)(y+15)

將y=15-x代入，全部乘開再化簡(此步費時)，會變成x的二次方程式

x^2-15x+50 = 0
(x-5)(x-10) = 0

取x=5

(4)

ΔBPD = (1/2)*x*8 = (1/2)*5*8 = 20


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.37.12.203
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1540102651.A.385.html
推 talrusha    : 感謝大大的幫忙，雖不難但乘開過程超繁雜QQ"
→ Vulpix      : 展開那邊其實很輕鬆的喔。
→ Vulpix      : x^2*y+y^2*x=xy(x+y)=15xy，x^2+y^2=225-2xy。
→ Vulpix      : 最後方程式只看得到xy。
推 talrusha    : 感謝指點，適時代入x+y=15 可以少乘一大段
→ talrusha    : 不過話說回來這題給國中生太過了吧>"<
推 Hurricaneger: 國中怎麼玩到這個