[機統] 用substitutiton variables求機率

[AmigoSafin ()]

大家好～

想請教大家一個已知c.d.f. 用substitution variables
求另一個變數發生機率


題目為

p.d.f.是 f_Y(y) =[(1+\theta\times(y))]/2, y \in [-1,1], -1<=\theta<=1

我已求出c.d.f.為

(1/2)[(\theta/2)y^2+y+1-(\theta/2)], -1<y<1

E[y]=\theta/3 , \theta \in [-1,1]
Var[y] = (3-\theta^2)/9


現在有Y_1, Y_2, ..., Y_n i.i.d. from F_Y(.)

Y bar=(1/n)\sum Y_i

X=3(Y bar)

Let a be a real value,

求event A={X<=a}的大概機率


我用X=3(Y bar)放進event 中

所以 A={3(Y bar) <=a}

A={(Y bar) <= a/3}

接下來就卡關了


請教大家

感謝不盡～～




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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1540338788.A.C90.html
→ Ricestone   : 課本應該有講假設iid的同分配隨機變數要怎麼逼近吧?
→ AmigoSafin  : 您說chebeyshev theorem嗎 還是large number law?
→ Ricestone   : 你覺得能用什麼估就用什麼估，總之要弄出Y的平均
我想到的方法如下
不太確定是否正確 還請大家多多指導

感激不盡>"<


p.d.f. of Y:

f_Y(y) = (1+\theta*y)/2 , y \in [-1,1], \theta 範圍在[-1,1]

我算出

E[Y]=\theta/3

Var[Y]=(3-\theta^2)/9


題目為

Y bar= (1/n) \sum(Y_i)

且X=3*(y bar)

let a be a real number

寫下A={X<=a}的expression of approximate probability


我用A={3*(y bar)<=a}
     ={y bar <= a/3}
     ={(y bar-mu)/sigma <=(a/3-mu)/sigma)

然後用Y的c.d.f.來表示

所以這個機率就是

F((a/3)-mu/sigma)

mu=E[Y]
sigma=sqrt(Var[Y])


不知道這樣是否可行～～

請教大家

感恩！！



※ 編輯: AmigoSafin (129.21.71.30), 10/25/2018 04:43:21
→ Ricestone   : 這應該是用CLT，假設Ybar的分佈是常態分佈
→ Ricestone   : Ybar的分佈不會跟Y一樣