→ Ricestone : 原來如此，我想說A∩B的時候再交C會不知道總數 10/30 21:19
推 doctortwo : 差點漏看了這篇 先推等等算完數學再回來看 謝謝你 11/03 16:19
※ 引述《doctortwo (肅殺的十月)》之銘言：
: https://imgur.com/7XWWhdQ
: https://imgur.com/dSQ60Tb
: 解答看不太懂
: 48題的10＝5＋7＋9－2－6－4＋n中
: 5,7,9是棒帥優的人數我知道
: 可是為什麼交集人數有辦法確定是2,6,4？
: 49題
: (A)(C)看不懂n(A聯集)，(A)選項代10，(C)選項卻代8？
: (B)n(A聯集B聯集C)為什麼可以直接代10？
: (D)n((A交集B)聯集C)為什麼可以直接代10？
: (E)n(B聯集C)為什麼也可以直接代10？而又為什麼可以推出ABC交集≦7？
48題解答的寫法不棒不帥又不優
超過兩組，三組以上時母湯用排容
如果今天題目除了棒、帥、優，再加入高、多金，可能會排到抽筋
而且在排容的過程，對於其他項的最大最小取值也沒交代清楚
這種題目是可以直接心算的
在此之前我們先來看幾個定理
Thm1. (A∩B) ⊆ A
白話翻譯就是集合交集不會變大，頂多不變
因此 n(A∩B)≦n(A)
這可以讓我們估算n(A∩B)的上界，進而取得最大值
類似的 (A∩B∩C∩D∩...∩Z) ⊆ A
可由 (A∩B∩C∩D∩...∩Z) = (A∩(B∩C∩D∩...∩Z)) 再套用 Thm1 可得
Thm2. A⊆B if and only if A∩B = A
類似的 A⊆B 且 A⊆C iff (A∩B∩C) = A，可由Thm2來證
因此，若 A⊆B 且 A⊆C，則 n(A∩B∩C) = n(A)
配合 Thm1. 這可讓我們找到 n(A∩B∩C) 的最大值
例如49題C.
n(傻∩呆)≦n(傻)=7
n(傻∩呆)≦n(呆)=8
當傻⊆呆時，n(傻∩呆)=n(傻)=7，這是最大值
同理又傻又呆又壞的最大值也是7
心算等級一
再來看 n(A∩B∩C) 的最小值
因為 n(A∩B∩C) = N - n(A'∪B'∪C')
其中 N=n(U)，A'= U\A
N 不變，所以n(A'∪B'∪C')有最大值時，n(A∩B∩C)有最小值
而 n(A'∪B'∪C') ≦ n(A') + n(B') + n(C')
取最大值時以不爆掉為限
例如48題
不棒5個，不帥3個，不優1個
因此 n(不棒∪不帥∪不優) ≦ n(不棒) + n(不帥) + n(不優) =5+3+1=9 (沒爆)
因此答案=10-9=1
另外觀察到 N - ( n(不棒) + n(不帥) + n(不優) )
= N - ( N - n(棒) + N - n(帥) + N - n(優)
= n(棒) + n(帥) + n(優) - 2N
上面這個式子也可以拿來心算用
n(棒) + n(帥) = 5+7 = 12 代表最少有2個又棒又帥 (12-10)
2+9=11 代表最少1個又棒又帥又優 (11-10)
心算等級二
這樣是不是心算就可以了呢
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