[中學] 文氏圖

[doctortwo (肅殺的十月)]

考場中共有100名考生，考卷只有A,B,C三題
若已知答對A,B,C題的人數分別有40,50,70人
且B,C兩題都答對的有40人
以A,B,C分別表示答對A,B,C題的人所成的集合
且以|A|表示集合A的元素個數，則下列敘述哪些正確

(1)|A∩C|可能等於9
(2)若|A∩C|=10，則B⊂(A∪C)
(3)|C－A|≧|A∩C|
(4)若A∩B為空集合，則|A－C|可能等於9
(5)A∩B∩C可能為空集合
(6)|A∩B|+|A∩C|的最小值是20

ANS:(2)(5)(6)

(1)到(5)我有畫文氏圖解出來 (A∩C的範圍我算是10到20之間，不知道對不對？)

可是(6)就卡住了

連帶著也不知道(1)到(5)是不是正統的方法

所以就想問一下這一題，主要是第(6)個選項

謝謝

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→ annboy      : 你應該是忘了考慮總數是100
→ annboy      : 另外題目應該是容許全部答錯
完整題目就是這樣而已

我有考慮總數是100 可是(6)就不知道怎麼算

→ ERT312      : (6)hint:|A∩B|+|A∩C|=|(A∩B)∪(A∩C)|+|A∩B∩C|
這個性質看懂了 可是我還是不會

主要的點在於 (a+b)整個的最小 應該是不一定等於a最小+b最小吧?
※ 編輯: doctortwo (36.225.145.137), 11/03/2018 16:04:15

又算了一次 A∩C的範圍應該是10到40之間 (不知道有沒有錯?不過(6)還是不會)
※ 編輯: doctortwo (36.225.145.137), 11/03/2018 16:12:20

後來自己胡亂解了一通 大概是這樣吧

設A∩B∩C=x,A單獨與B之交集為y,A單獨與C之交集為z

可知 x+y+z=20

因此|A∩B|+|A∩C|=|x+y|+|x+z|=|20-z|+|20-y|=(20-z)+(20-y)=40-(y+z)

=40-(20-x)=20+x

而此時 0≦x≦20

因此所求|A∩B|+|A∩C|的最小值為20，最大值為40
※ 編輯: doctortwo (36.225.145.137), 11/03/2018 16:34:16
→ ERT312      : |A∩B|+|A∩C|=|A∩(B∪C)|+|A∩B∩C|,其中|A|=40,
→ ERT312      : |B∪C|=80,所以|A∩(B∪C)|≧20,當|A∩(B∪C)|=20時
→ ERT312      : |A∩B∩C|的最小值是0，因此|A∩B|+|A∩C|最小值=20
→ ERT312      : A⊆B∩C時，|A∩B|+|A∩C|有最大值80