[中學] 關於無理數和0.999..的疑問

[ThePeaceMan (TPM)]

        小弟目前讀高一。在高中，老師給出了0.999...=1的證明，但想想總覺彆扭

，若上式成立，則1-0.999...=0.00..1(無限小)=0亦成立。


        由於有理數具有稠密性，故我們可用二分法逼近一個無理數，像根號2介在1

與2之間，又有理數的運算具有封閉性(除數不為0)，故我們最後能找到m<根號2<n，且

m,n皆為有理數，兩數與根號2的差距皆為無限小。由0.999...=1的證明中，我們可得

知無限小等於0，m=根號2=n，故根號二為有理數?(怪怪的~)懇求大神解惑!

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→ Ricestone   : 用有理數逼近不代表極限是有理數
※ 編輯: ThePeaceMan (111.249.3.107), 11/04/2018 20:23:01
→ Ricestone   : 無限小的概念跟0還是不一樣的
→ ThePeaceMan : 但有理數具有封閉性
→ Ricestone   : 有封閉性所以怎麼了嗎？
→ ThePeaceMan : 且若無限小不等於0，0.999...也不等於1
→ ThePeaceMan : 有封閉性則運算後的結果還是有理數
→ Ricestone   : 極限不是加減乘除，跟封閉性無關
→ ThePeaceMan : 小弟好奇的是0.999..和無理數的證明衝不衝突
→ Vulpix      : 是啊，你要先說清楚是哪些運算。而不是自動將「數列
→ Ricestone   : √2無理數證明跟極限無關，跟封閉性有關
→ ThePeaceMan : 0.999..也可看成數列的極限吧!?
→ Vulpix      : 取極限」視為「運算」的一部分。
→ Ricestone   : 不要把無限小隨意當作一個數字
→ ThePeaceMan : 那無限小等於0嗎?
→ Vulpix      : 如果你想討論的東西限定在實數裡，無限小的東西只有
→ ThePeaceMan : 那無限小的定義是?
→ Vulpix      : 0沒錯。
→ ThePeaceMan : 回V大 有差別嗎?
→ ThePeaceMan : 還是虛數的世界也有無限小?
→ Ricestone   : 那我可以反過來說，你說有m,n跟√2差距無限小對吧?
→ Vulpix      : 有。但你才高一，不打算用hyperreal number荼毒你。
→ Ricestone   : 可是用一樣的方法可以找到m'比m更接近√2，m跟m'
→ ThePeaceMan : 回R大 是
→ Ricestone   : 會一樣嗎？
→ Vulpix      : 你可以試試看給我們看一組m,n，讓m/n跟√2差距無限
→ Ricestone   : 真的要說，要使用ε-δ才能理解這些都是在逼近
→ Vulpix      : 小。注意只能給一個m一個n喔。
→ ThePeaceMan : 但m可看成是極限 就和0.999..一樣
→ Vulpix      : 你不能總說極限極限的，極限要存在才能談啊。存在就
→ ThePeaceMan : 0.999..可看成0.9 0.99 0.999這個數列的極限
→ Vulpix      : 是說一定找得到，請找給我們看看？
→ ThePeaceMan : 極限就是根號2 就和0.999..的極限是1一樣
推 ddxu2       : 在一般實數的說法中，並不存在你寫的m和根號2的差距
→ ddxu2       : 為無窮小。
→ ThePeaceMan : 我不理解這兩個概念上的差別
→ ddxu2       : 0.999...等於1並不是因為它跟1的差距為無窮小，而是
→ ddxu2       : 它就是1。（精確的說法是，0.999...這種寫法就是在
→ ddxu2       : 描述極限的值，而這個極限的值為1）
→ Ricestone   : 啊就說有理數的逼近並不一定是有理數啊= =
→ ThePeaceMan : 這樣子問好了 若有一分數的分子分母皆為無限大 那它
→ ThePeaceMan : 屬於有理數嗎?
→ Ricestone   : 沒意義
→ Alan104     : 無限大=無限大
→ ThePeaceMan : 那我們可以把0.99...寫成999.../1000...
推 ddxu2       : 在你所學的實數裡，無窮大跟無窮小都不是實數，也可
→ ThePeaceMan : 那0.99..也沒意義?
→ ddxu2       : 以說它們都不存在。所以沒有什麼分子分母無窮大這種
→ ddxu2       : 事情，分數的分子跟分母都要是實數，這分數才有意義
→ ddxu2       : 。
→ Alan104     : 所以應該是1? (不確定)
→ Ricestone   : 我還可以寫成5000000.../10000000，這樣變1/2嗎？
→ Ricestone   : 當然不合理啊
→ Ricestone   : 上面的10000000忘了寫後面的...
→ ThePeaceMan : 回R大 有何不可?
→ ThePeaceMan : 可以抵銷阿
→ Ricestone   : 極限是有它更精確的定義的
→ Ricestone   : 哦，那不就代表分子分母皆為無限大可以是任何數字
→ Ricestone   : 還記得0/0也是說無定義嗎？
→ ThePeaceMan : 但無限大也有增長數率的快慢(階)?
→ ThePeaceMan : 0/0無意義 是因分母為0
→ Ricestone   : 對，但是你只說「無限大」或者「0」那就不對
→ Ricestone   : 0/0無意義不是因為分母0而已
→ Ricestone   : 只有分母0你還是可以說正負無限大...雖然不太好
→ ThePeaceMan : 但5.../10...可看成5/10 50/100 500/1000數列的極限
→ ThePeaceMan : 結果仍為1/2
→ Ricestone   : 你沒發現你都會多講「極限」嗎？
→ ThePeaceMan : 並不會因分子分母皆為無限大而使結果有所改變
→ Ricestone   : 對啊，它是「極限」，不是一個「無限大」
→ ThePeaceMan : ? 對阿 極限
→ Ricestone   : 對啊，所以你就算取了一個m，它在任何時候都跟√2
→ Ricestone   : 都可以是不等於的
→ Ricestone   : 它是取了極限之後，才等於√2
→ ThePeaceMan : 50.../100...是數列極限，分子分母無限大
→ ThePeaceMan : 那0.9 0.99 0.999在任何時候也不等於1 取了極限才
→ ThePeaceMan : 等於1
→ Ricestone   : 是啊，當然
→ ThePeaceMan : 為何同樣取極限 結果卻不相同
→ ThePeaceMan : 有些時候等於 有些不然
→ Ricestone   : ？什麼有時候等於？
→ ThePeaceMan : 0.999..等於1 m與n卻不等於根號2
→ Ricestone   : 不對，就像上面有人說了，0.99...這個寫法就是
→ Ricestone   : 取了極限的意思
→ Vulpix      : 請明說「哪些時候誰等於誰，哪些時候誰不等於誰」。
→ Vulpix      : 為了解決你的問題，你的敘述必須明確。
→ Vulpix      : 0.999...這個記號不是0.9，不是0.99，更不是0.9999
→ ThePeaceMan : 喔 所以0.999....不算是一個數 而是極限?
→ Vulpix      : 而是我們將0.9,0.99,0.999,0.9999,...這個數列的極
→ Vulpix      : 限記成0.999...。至於是不是一個數？他是，此極限在
→ Vulpix      : 實數系統中能找到，就是那個叫1的。
→ Ricestone   : 不然你能直接說一個正在往1蠕動的東西叫數字嗎？
→ Ricestone   : 到達的地方的確是數字，但極限本身是個運算
→ Ricestone   : 當然還要注意這運算跟有理數封閉無關
→ Vulpix      : 再說得更詳細些的話，加號把兩個數字運算成一個數字
→ Vulpix      : 。而極限把一個收斂實數列運算成一個實數，不收斂的
→ Vulpix      : 數列則無法進行極限這個運算。
→ ThePeaceMan : 請問在實數中無限小等於0嗎?
→ Ricestone   : 你要先說明這無限小怎麼來的
→ ThePeaceMan : 0.000..1
→ Ricestone   : 你認為那是不是指lim(1/10)^n
→ ThePeaceMan : 無限小可以拿來運算嗎?
→ ThePeaceMan : yes
→ Ricestone   : 如果是，那這就是取極限，是個等於0的極限
→ Ricestone   : 如果有很詳細的定義好，是可以運算，但你現在還是
→ Ricestone   : 不要當作能拿來加減乘除比較好
→ ThePeaceMan : 在不同的地方會有不同的定義嗎?
→ Ricestone   : 也不是說不同的定義，例如微積分時dx這東西，單單
→ Ricestone   : 只看這樣的話，意思是把x軸切成無限多個無限小塊
→ Ricestone   : 如果沒定義好，是不可以這樣講的
→ Vulpix      : 不會喔。
→ ThePeaceMan : OK 已了解 感謝各位大大解惑!!
→ Vulpix      : 無限小的定義：只要c是正實數，|x|<c就一定正確的話
→ Vulpix      : ，x就是一個無限小。
→ Vulpix      : 顯然實數中只有0滿足這個條件。
→ Ricestone   : 是沒錯...但我怕他又回去說可以找到m跟√2有無限小
→ Vulpix      : 不喜歡0的人可以把0排除在無限小這類東西之外。
→ Ricestone   : 那無限小要跑出來的前提是極限
→ Vulpix      : 他們會定義成：只要c是正實數，0<|x|<c就一定正確的
→ Vulpix      : 話，x就是一個無限小。
→ ThePeaceMan : 也就是說實數的世界 兩數相差無限小 則兩數相等?
→ Vulpix      : 差不多是這麼說沒錯，但透過製作hyperreal number，
→ ThePeaceMan : 被R大說中~
→ Vulpix      : 可以讓無限小看起來實際存在。→Ricestone
→ Vulpix      : 「也就是說...兩數相等?」正確。
→ ThePeaceMan : 無理數和有理數皆有稠密性 故無理數旁有有理數 有理
→ Ricestone   : 是相等，但要寫出怎麼讓那無限小跑出來
→ ThePeaceMan : 數旁有無理數 差距無限小
→ ThePeaceMan : 則有理數等於無理數
→ Ricestone   : 任何有限步驟下，差距都不會無限小
→ ThePeaceMan : 所以有理數運算的封閉性 前提是有限步驟?
→ Ricestone   : 有理數封閉性是四則運算...
→ Ricestone   : 不然你開個根號不就沒了
→ ThePeaceMan : 對 忘了補 純四則運算
→ ThePeaceMan : 且除數不為0
→ Ricestone   : 不然你寫出什麼樣叫無限步驟
→ Ricestone   : 極限就是對無限步驟的一種處理
→ Ricestone   : 而極限不保證封閉性
→ ThePeaceMan : 但無限可拆成許多有限步驟 哪個環節讓封閉性失效?
→ Ricestone   : 許多->這「許多」還是無限多
→ Ricestone   : 無限跟有限是有天壤地別的
→ ThePeaceMan : 就像是你把水倒來倒去 它還是水 不會變成油
→ ThePeaceMan : 感覺就是很矛盾
→ Ricestone   : 是的，遇到無限時會有很多跟你的直覺矛盾的事情
→ Ricestone   : 你可以找看看 希爾伯特旅館
→ ThePeaceMan : 好吧!看來數學是天才才能理解的~
→ Ricestone   : 反過來說，其實你問的問題很好，因為這指出了有理數
→ Ricestone   : 不完備
→ Ricestone   : 但這樣就講太深了，現在對你來說還沒必要
→ Ricestone   : https://goo.gl/5mF8m8  有興趣可以看一下
→ ThePeaceMan : 感謝各位大大的解說，叨擾甚久，抱歉!!
→ Ricestone   : 我發現我把天差地別和天壤之別合體了，難怪選不到
推 Vulpix      : 「√2附近有有理數1.4」和「√2附近多近的地方都有
→ Vulpix      : 有理數」是兩個不同的敘述。
推 annboy      : 我想了一陣子 這個類的問題可能用最小上界會最好想
→ annboy      : 不過這真的是個好問題 總歸來說就是完備性
→ annboy      : 只是完備性不花一番功夫是不容易說清楚的
→ Vulpix      : 我是支持用柯西數列的等價類來定義實數的，理由是
→ annboy      : #最小上界公理 #實數的構造 #戴德金分割
→ Vulpix      : 四則運算容易定義也容易操作。
→ Vulpix      : 利用上確界的手段，在定義減法的時候就夠辛苦了。
推 annboy      : V大想得比較遠 我單純只是想說把根號2 和 1
→ annboy      : 這兩個"切點"的不同展現出來而已
推 Vulpix      : 高一學生願意去深究0.999...是難能可貴啊。
→ Vulpix      : 重看了一次原po的敘述。第一段錯在我們其實"寫不完"
→ Vulpix      : 0.00...01的"0"。所以他不是想像中的"無限小"。
→ Vulpix      : 第二段的錯誤也是同樣的：最後。最後仍找不到m,n。
推 annboy      : 總之我只想提醒一件事:"根號2不是有理數"這個證明
→ annboy      : 非常重要 而且教授會默認高中生應該知道的
→ annboy      : 不只是根號2 至少根號3、根號5都要會證
→ annboy      : 因為原PO才高一 比起微積分或高微 看線性代數更好
→ annboy      : 願意犧牲一些休閒時間的話 從現在開始看一些原文書
→ annboy      : 應該會很有幫助的 高中數學課本大多只講結論
→ annboy      : 天外飛來一筆某某定理之類的
→ annboy      : 這也是高中我沒很熱衷數學的一個原因
→ annboy      : 阿 漏掉了還有2開三次方也要會證
推 aikotoba    : 才高一就想高微的內容 難能可貴
→ Ricestone   : 改天來問Zeno也不奇怪