※ 引述《ThePeaceMan (TPM)》之銘言：
: 小弟目前讀高一。在高中，老師給出了0.999...=1的證明，但想想總覺彆扭
: ，若上式成立，則1-0.999...=0.00..1(無限小)=0亦成立。
: 由於有理數具有稠密性，故我們可用二分法逼近一個無理數，像根號2介在1
: 與2之間，又有理數的運算具有封閉性(除數不為0)，故我們最後能找到m<根號2<n，且
: m,n皆為有理數，兩數與根號2的差距皆為無限小。由0.999...=1的證明中，我們可得
: 知無限小等於0，m=根號2=n，故根號二為有理數?(怪怪的~)懇求大神解惑!
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首先 0.9=1 的證明
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假設 1-0.9=a>0 , a=b*10^n for some 0<b<10,b是正整數,n是整數
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因 0.9=0.9+0.09+... = sum 9^-i from i=1→∞
choose j<n we have
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a=1-0.9> 1- {sum 9^-i from i=1 to j} = 10^j <b*10^n = a
矛盾
簡單的說就是 如果兩個不相等 不相等就有距離 有距離就矛盾
所以基本上 不要用什麼無限小去想 太累了
第二個 你講的方法跟實數完備定理有點關係
通常逼近根號2是用有理數去逼近 但極限落在有理數外
用嚴謹一點的數學方式來表達你的想法：
choose series {a}i {b}i such that {a}i↗根號2 and {b}i↙根號2
兩個數列一個嚴格遞增跟嚴格遞減
把根號2寫成ci*10^i,這樣每一個ci就代表根號2的十進位的位置
an bn寫成sum ci and an<cn bn>cn for an ,bn 是介於1-9之間的正整數
這樣每個an bn都是有理數
所以 在任何有限 an bn的情況下 an bn與根號2的距離都>0
你也沒辦法找到什麼無限小的距離
你所謂的 "故我們最後能找到m<根號2<n" 是錯的
因為你根本找不到 不然你找出來給我看 是吧
an數列跟bn數列 就會一直無限的延伸下去 但是在有限的n 永遠不會等於根號2
這就是觀念的問題 嚴格來說是這樣描述
an是個數列 會一直接近根號2 根號2就是an的極限
什麼叫an的極限 就是an會愈來愈小 但an永遠>根號2 bn就反過來
"故我們最後能找到m<根號2<n" 這個描述是有問題的 因為你根本找不到
你找到一組有限的M N 之後還有無限個M N
再來就是無限小 基本上數學嚴謹的來說沒有什麼無限小 1就是1 0就是0
(當然可以定義∞做運算 意義不大)
一般常聽到的無限小是通常是用來描述一個連續的狀態 就跟無限大一樣
所以不要把無限小或無限大當成是一個點 一點數字 這是很多人的盲點
無限大也一樣 無限大還有更大的無限大 EX: ∣N∣< ∣R∣
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結論就是 一開始就錯了 1-0.9不是什麼無限小 就是0而已
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會把1-0.9 講成是無限小的 就沒sense 觀念不嚴謹
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