Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問

[RicciCurvatu (黎奇曲率5566)]

※ 引述《h2o1125 (123)》之銘言：
: ※ 引述《ThePeaceMan (TPM)》之銘言：
: :         小弟目前讀高一。在高中，老師給出了0.999...=1的證明，但想想總覺彆扭
: : ，若上式成立，則1-0.999...=0.00..1(無限小)=0亦成立。

我們先回到國中階段
你在做1÷1的時候 先裝傻 偷偷借位
變成1.0÷1 取9余0.1
一直做下去的確可以得到0.99999...
只要你裝傻每次都留0.000..1

或者是國中老師可能也教過

0.9999....*10=9.999999....
所以9.99999...-0.999999...=9=9*0.99999
兩邊解開就得到0.9999...=1
第二個證明可能好接受一點


: :         由於有理數具有稠密性，故我們可用二分法逼近一個無理數，像根號2介在1
: : 與2之間，又有理數的運算具有封閉性(除數不為0)，故我們最後能找到m<根號2<n，且
: : m,n皆為有理數，兩數與根號2的差距皆為無限小。由0.999...=1的證明中，我們可得
無限小的確是說不太清楚
應該是要多小有多小
也就是說 我可以找到一組m n夾住更號2
使他們差距比0.5小嗎? 可以
可以找另一組m n 使他們差距比1/4小嗎? 可以
你要先給個範圍 再去找你要的有理數
但不同有理數肯定有個距離
妳要讓他們距離更接近更號2 就要再找一組新的

而不是說能找到一組有理數說他們距離是無限小

: : 知無限小等於0，m=根號2=n，故根號二為有理數?(怪怪的~)懇求大神解惑!
所以你知道問題了嗎

: _
: 首先 0.9=1  的證明
: _
: 假設 1-0.9=a>0 , a=b*10^n for some 0<b<10,b是正整數,n是整數
這裡有個問題 為什麼a可以寫成這樣?
: _
: 因 0.9=0.9+0.09+... = sum 9^-i  from i=1→∞
: choose j<n   we have
: _
: a=1-0.9> 1- {sum 9^-i  from i=1 to j} = 10^j <b*10^n = a
: 矛盾

其實只要知道
a<0.1
a<0.01
a<0.001 .....
就行了
其實這都有點循環論證了
最後問題還是
0.000000....0001到底是不是一個數

: 簡單的說就是 如果兩個不相等  不相等就有距離 有距離就矛盾
: 所以基本上  不要用什麼無限小去想  太累了
: 第二個  你講的方法跟實數完備定理有點關係

其實不是實數完備定理
是數學家放棄了
0.0000000....0001就是0
一個數如果比任何能寫下的有理數都小
那他就只能是0 這不是定理
是公理(或是高中說的定義或假設)

: 通常逼近根號2是用有理數去逼近  但極限落在有理數外
: 用嚴謹一點的數學方式來表達你的想法：
: choose series  {a}i  {b}i such that {a}i↗根號2  and  {b}i↙根號2
: 兩個數列一個嚴格遞增跟嚴格遞減
: 把根號2寫成ci*10^i,這樣每一個ci就代表根號2的十進位的位置
: an bn寫成sum ci and an<cn  bn>cn for an ,bn 是介於1-9之間的正整數
: 這樣每個an bn都是有理數
: 所以  在任何有限 an bn的情況下  an bn與根號2的距離都>0
: 你也沒辦法找到什麼無限小的距離
: 你所謂的  "故我們最後能找到m<根號2<n"  是錯的
: 因為你根本找不到   不然你找出來給我看   是吧
: an數列跟bn數列  就會一直無限的延伸下去  但是在有限的n  永遠不會等於根號2
: 這就是觀念的問題   嚴格來說是這樣描述
: an是個數列  會一直接近根號2  根號2就是an的極限
: 什麼叫an的極限  就是an會愈來愈小  但an永遠>根號2  bn就反過來
: "故我們最後能找到m<根號2<n"  這個描述是有問題的  因為你根本找不到
: 你找到一組有限的M N  之後還有無限個M N
: 再來就是無限小  基本上數學嚴謹的來說沒有什麼無限小  1就是1  0就是0
: (當然可以定義∞做運算  意義不大)
: 一般常聽到的無限小是通常是用來描述一個連續的狀態  就跟無限大一樣
: 所以不要把無限小或無限大當成是一個點  一點數字  這是很多人的盲點
: 無限大也一樣  無限大還有更大的無限大    EX: ∣N∣< ∣R∣
: _
: 結論就是  一開始就錯了  1-0.9不是什麼無限小   就是0而已

這裡就是問題所在
0.999999....為什麼可以是一個數?
你為什麼能容許一個數列增加無限次
然後還宣稱他還是一個實數?

定義上 你首先要先說清楚什麼是0.99999...
高微會說這個東西是一個序列
0.9 0.99 0.999 0.9999
這是一個有理數數列
這時候才能定義賦距
但是 兩數距離等於0若且為若兩數相等
是"公設" 甚至連賦距本身都有好幾種選取方法(要怎樣比較正有理數的大小?)
有了賦距 才有科西序列
完備化某個賦距的科西序列 才是實數
如果挑選其他的賦距 也可能完備出p adic
而有理數稠密並不算性質 而是我們建構的實數就是他的完備集

: _
: 會把1-0.9  講成是無限小的  就沒sense  觀念不嚴謹

仔細想想
我們定義賦距時 只需要把有理數送到一個totally ordered set
並滿足Q scaling跟加法就行了
這樣就可以把"無限小"這個數塞進這個set 讓|0.0000...01|="無限小">0
所以0.99999...就不是科西數列了
基本上在這樣的定義下你所有的無窮小數都發散
所以或許問題不是說"無窮小"是不是0
有沒有sense
而是你要不要使用不能把有理數寫成無窮小數的系統

上面那段寫有點飄= =
總之 除了p adic之外
還有很多方法可以造出一些數系
讓0.999...不收斂
或是讓他收斂到其他不是 1的數
你可以懷疑這是不是好數學
但無限小可以很嚴謹

我想說的是
有理數完備化是一個很有趣的課題
高中時候的直覺不一定是錯的
當學到其他工具把想法說清楚後
其實中間可能會有一些有趣的概念在裡面


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推 jacky7987   : 無限小就看非標準分析啦
→ Vulpix      : Q is dense in Q itself. Q的稠密性當然是性質……
→ Vulpix      : (Q,Euclidean metric)的性質之一就是稠密性。
→ RicciCurvatu: 我看不懂你在說什麼... 任何數當然都對自己closed
→ RicciCurvatu: 當然也對自己dense 自然數對自然數也是dense啊 你要
→ RicciCurvatu: 講dense就是要相對某個母空間才不trivial
→ RicciCurvatu: 我懂了== dense order跟metric space的dense不一樣.
→ RicciCurvatu: .. 你要先確定Q有全排序 "x 跟y之間"這句話才make s
→ RicciCurvatu: ense
→ Vulpix      : a/b>c/d 定義成 bd(ad-bc)>0 就好。這個order就是從
→ Vulpix      : 到大都在用的那個。想要在Q上給total order不是難事
→ Vulpix      : ，找一個bijection f:Q→N，a>b定義成f(a)>f(b)，這
→ Vulpix      : 個定義甚至還可以得到「最小」的有理數，但這個定義
→ Vulpix      : 與代數結構不相容(正正不一定得正)，所以沒用。
→ RicciCurvatu: 你是想討論嚴謹的還是從小到大都在用的想法? 你去翻
→ RicciCurvatu: 所有實分析課本dense都是相對於賦距空間的 你去查維
→ RicciCurvatu: 基看看是不是你的那個定義 你造一個自然的order很好
→ RicciCurvatu: 啊 但這是說明 Q 存在一個dense order 但不是說Q de
→ RicciCurvatu: nse 混用就是混用了 實數的建構就是先確認Q有total
→ RicciCurvatu: order 所以你能把Q自己當成是賦距的取值 然後 這個
→ RicciCurvatu: 賦距的取值一般只要是total order就可以 但就像你說
→ RicciCurvatu: 的 這個total order set可能有非零下界 這種賦值會
→ RicciCurvatu: 變離散拓撲 所以這時候你才加入 dense order的性質
→ RicciCurvatu: 說因為非零沒下界 總存在一些科西數列 你才能繼續說
→ RicciCurvatu: 你能用這個數列的完備化去造R 你必須繼續證明R也有t
→ RicciCurvatu: otal dense order 才會有我們一般化的賦距定義 另外
→ RicciCurvatu:  雖然你的賦距是Q到Q 保持運算結構的賦距也並不唯一
→ RicciCurvatu:  有可數多個 每個質數都對應一個 就是p進數 總之有
→ RicciCurvatu: 理數的完備化不是那麼容易的事
→ Vulpix      : 抱歉我想講的是density of Q。
→ Vulpix      : 因為"density"是說每對有理數之間都還有有理數，而
這還是有問題 基本上有理數本身就像你說的 可以打到自然數
你要說density 還是要回到他可以構造的全排序上來說 並不倚賴於 單純就無結構集合來說還是沒有density
→ h2o1125     : 無窮小就是0 在hausdorff space下收斂只有一個就是0
hausdoff的賦距是在R中取值
你不能把裡面的性質倒過來做實數建構
→ Vulpix      : 前面提到的"dense in"是兩個集合的關係，所以是我名
→ h2o1125     : 觀念問題 你把無限小 定義成一個數 意義在哪？？？
→ h2o1125     : 無限小就是一個形容詞不是一個名詞 懂嗎？
沒有定義怎麼操作? 我是有點懷疑你不是唸數學的
→ Vulpix      : 詞混用的錯。至於你說是不是想講那個從小到大在用的
→ h2o1125     : 什麼叫無限小 give ε>0  a<ε 這樣的定義不是0
→ h2o1125     : ∣a∣<ε  這樣才是0  定義問題
→ Vulpix      : metric？當然是啊，可是我有重新定義過：
→ h2o1125     : 還有  把任何數寫成a*10^n 是科學記號
→ h2o1125     : 有代數基本sense都應該知道這點
請問你n 是多少? 無限大?
你不是說無限大是形容詞
→ Vulpix      : a/b>c/d 的定義是 bd(ad-bc)>0。跟各種性質相容就先
→ h2o1125     : i.e.  無限小就是比任何數都小 就是0或-∞ by值域
→ Vulpix      : 不花力氣證明了，太繁瑣。
的確是沒錯 但有理數保持field結構的全排序有兩個 另一個是2-adic
→ h2o1125     : 所以說 一直講無限小 根本一點sense也沒有 誤人子弟
我覺得你就是被誤到的 數學何來對錯
照公理做出的東西就是數學
更何況非標準分析也不是我一家之言
我不能說那個東西很好
但他是數學
→ Vulpix      : @h2o1125 科學記號的假設是有問題的。b可以帶小數部
→ h2o1125     : def:∞>M for any M in R, and 1/∞=0 -∞<M in R
→ Vulpix      : 份。緊接在後面的那個0.9也不是9^(-1)，這些東西應
→ Vulpix      : 該要修掉。
→ h2o1125     : 那就我寫錯  b限制在0到1之間即可
→ h2o1125     : 寫錯是9*10^-i 懶的改了
→ h2o1125     : Vulpix你搞錯了吧  我一開始寫的b有限制正整數啊
→ arthurduh1  : 總結一下對於上面討論的看法:
→ arthurduh1  : 1. Vulpix 一開始就只是說 desnse 是個 "性質"
→ arthurduh1  :    原文說 "不算性質", 那究竟要算什麼?
我覺得他是想說dense in R
既然R本來就是從Q的完備集訂的
那當然不算什麼property
→ arthurduh1  : 2. 無窮小並不是沒 sense, 或許對於會問 1-0.999...
→ arthurduh1  :    的人, 直接講無窮小的確跳太快, 但也不能因此
→ arthurduh1  :    否定這個觀念. 就好像對於一個只會用手指算個數
→ arthurduh1  :    的人, 直接講比 0 或 1 小的數他會很難理解,
→ arthurduh1  :    但不代表負數就沒 sense.
→ h2o1125     : arthurduh1 你好 0.999...是個實數 實數相減=無限小
→ h2o1125     : 我的重點是這個  從頭到尾都是0 不是什麼無限小
→ h2o1125     : 會把1-0.999...說成是無限小 再推論到是0
→ h2o1125     : 這種人就是沒sense 完全沒有觀念 一點也不嚴謹
→ arthurduh1  : 3. 原文用 0.00..01 引入無窮小的概念其實有點怪,
→ h2o1125     : 你可以說 0.9+0.09+...跟0的距離愈來愈接近
→ h2o1125     : 距離愈來愈小  而且"要多小有多小" 無限的小←動態
→ arthurduh1  :    這並不是非標準分析的思考方式
→ h2o1125     : 反正就是兩個實數相減  講成無限小  真的就沒sense
→ arthurduh1  : @h2o1125: 0.999... 不一定要當成實數
→ arthurduh1  : 數學注重 "形式", 1 和 0.999... 形式上就是不同
→ h2o1125     : 觀念問題  表達不夠嚴謹  很容易誤人子弟
→ h2o1125     : arthurduh1 你又在鬼扯了 0.999..不當成實數那是？
→ arthurduh1  : 上面說了, 對於觀念不清晰者可能會誤導沒錯
→ arthurduh1  : 所以說了, 你的眼睛裡只有實數才是對的
→ h2o1125     : 0.99.. =循環小數=無窮級數的"和"=一個數列的"極限"
→ arthurduh1  : 但數學並不是只有實數
→ h2o1125     : 那你講  0.999..不是實數  那你定義給我看看
lim Z/(10^n)
<-

你如果沒唸過category應該看不懂
我也不打算解釋了 你真的愛數學總有一天會讀到
→ h2o1125     : 數學不是只有實數  所以0.999...不是實數嗎？
不一定得是
→ arthurduh1  : 可以不是實數啊, 甚至可以不把它當作一個數
→ arthurduh1  : 你有理解柯西序列造實數系的方式嗎?
→ h2o1125     : ....那麻煩你寫一下定義給我看一下^^
→ arthurduh1  : 本質上它是構造一堆 "有理數序列", 再把它
→ arthurduh1  : "定義成實數"
→ h2o1125     : 不用本質  直接寫 def  好嗎？ 硬拗鬼扯沒比較好
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d332/33202.pdf&ved=2ahUKEwjzgJrDl8feAhUH7IMKHRBwClsQFjAAegQIAhAB&usg=AOvVaw0saBSd2ffmv-tdEWwUxP1B

先學會google
→ h2o1125     : 你就用你的邏輯 定義一下0.99...是什麼
→ arthurduh1  : 你對於 "定義" 是否有所誤解? 定義無法證明什麼
→ h2o1125     : 哈哈哈哈  你這種程度好意思說你念數學XDDD
→ h2o1125     : 你自己說0.99..可以不用視為實數 那你就SHOW給我看
→ h2o1125     : 不管是用定義  或是任何方式你想得到的 show給我看
→ arthurduh1  : 建議你實際讀一下實數系的建構, 或者反思一下
→ h2o1125     : 你講不出來 就是鬼扯硬拗而已  一點意義也沒有
→ arthurduh1  : 數學這門學問 :)
→ h2o1125     : 哈哈 arthurduh1 可憐  我都不念數學快10年了
→ h2o1125     : 現在像你這種程度的  到底念哪間學校XDD
你哪間? 我112
→ arthurduh1  : 說過了, 定義不能證明什麼, 我被你牽著走去說這種
→ arthurduh1  : 沒意義的事情呢?
→ h2o1125     : 建構實數系？  群→環→體→完備 跟0.999..有關？
你把代數結果跟賦距結構扯到一起...
無從吐槽
→ arthurduh1  : 你可以搜尋我的文, 很好查. 具體成績就不提了 :)
→ h2o1125     : 不用定義啊  你就SHOW給我看  0.999..可以不是實數
→ h2o1125     : 比方說 我說0.99..是一個極限 或是一個無窮級數和
→ h2o1125     : 我就寫給你看啊sum 0.9+0.09+..或考慮數列0.9 0.99
→ h2o1125     : 極限或是級數和 都明顯的是實數
→ arthurduh1  : 形式上 0.999... 就不是 1, 是有了實數這個概念後,
→ h2o1125     : 我就不懂 0.99...到底如何不是實數  可以賜教嗎？
→ arthurduh1  : 並且把它們都納入實數後, 才有 0.999... = 1
→ arthurduh1  : 這個順序請搞懂.
→ h2o1125     : 形式上 0.999... 就不是 1  那請問0.999..跟1差多遠
→ arthurduh1  : 就不是數, 哪來距離?
→ arthurduh1  : 吃飯去了, 等等回來 :)
→ h2o1125     : 喔喔 原來0.999...不是數啊  那請問是什麼？
→ h2o1125     : 不用回來了  笑死我了 念數學的有這種硬拗鬼扯的
→ h2o1125     : 真他媽悲哀  數學系 1就是1  2就2
→ h2o1125     : 講錯就說 說錯就好了  鬼扯什麼實數的建構 真好笑
→ h2o1125     : 台灣就一堆像你這樣的 死不認錯 硬拗鬼扯意義在哪?
→ h2o1125     : 可以show 0.999..不是實數的話再寄信給我
→ h2o1125     : 我會回來推文給你道歉  如果你寫不出來 也沒關係
→ h2o1125     : 我們學習 是要跟真理當朋友 不是為了自己面子硬拗
→ h2o1125     : 先打個預防針  0.999..不是實數 其實是種符號
→ h2o1125     : 就像我上面說的 可以理解成無窮數列或是無窮級數和
→ arthurduh1  : 你的預防針不就是我說的形式上是不同的?
→ arthurduh1  : 你自己都說出不是實數了, 我好像也沒啥好補充的了?
→ arthurduh1  : 再澄清一下, 我從來沒有認同 1-0.999...=0.000...1
這無所謂吧
就是概念上寫一寫 這的確不嚴格
→ arthurduh1  : 或者相減是無窮小這個說法. 只是當 1 和 0.999...
→ arthurduh1  : 同時出現時, 勢必要在實數裡 identify 這兩者,
→ arthurduh1  : 其實跟你一開始說的沒衝突. 對於你對於無窮小的看法
→ arthurduh1  : 我有意見的是 16:11 開始那段, 在那段你是直接否定
→ arthurduh1  : 無窮小這個概念, 與 1-0.999... 無關.
→ Vulpix      : 我就是說正整數有問題，1.2*10^(-8)也是科學記號。
→ Vulpix      : 這都小事情。不過無限小並不一定要動態地理解，我們
→ Vulpix      : 可以定義出比較小的無限小和比較大的無限小，這是非
→ Vulpix      : 標準分析帶給我們的好處。使用hyperreal可以讓動態
→ Vulpix      : 的求極限、取導數看起來像靜態的減法和除法，操作上
→ Vulpix      : 也很簡便，甚至在寫一些函數的展開式的時候也不必去
→ Vulpix      : 顧慮收斂半徑，因為我們用的變數只取無窮小值。
→ Vulpix      : eg. 1/(1-x)=1+x+x^2+... for all infinitesimal x
→ Vulpix      : 當然你把hyperreal拉回real來看待的時候，無窮小、
→ Vulpix      : 無窮大都「還原」成縮小/放大的速度。
→ Vulpix      : 但同樣的道理，實數拉回有理數來看的話，π也必須被
→ Vulpix      : 看作是持續靠近某處的數列，這是動態地看待無理數。
→ h2o1125     : 那0.5+0.5跟1也不一樣  形式上不同
→ arthurduh1  : 追究得夠深是不一樣啊, 不然你以為 1+1=2 是在證啥?
→ arthurduh1  : 我並不是找碴才這麼說, 因為會搞不懂 1-0.999...
→ arthurduh1  : 的人就是用非實數的角度去思考才會混亂.
推 Desperato   : 飛
→ Desperato   : 無限小可以取不一樣的定義 說用無限小代替0是沒啥
→ Desperato   : 問題
→ Desperato   : 問題是1 - 0.999... = 0.00...01的說法 這不管怎麼
→ Desperato   : 定義都是錯的
還好吧... 0.9999... ->[0.9 0.99 0.999 ...]
                 0.0.....1   ->[0.1 0.01 0.001 ...]
把"..."想像成是有限步驟的逼近就行了
1-[0.9 0.99 0.999...]=[0.1 0.01 0.001...]
形式上這樣寫應該也是沒什麼問題
大家第一次聽到這問題應該都是這樣想吧?
→ arthurduh1  : 對, 有問題的其實是 0.00...1
不要這麼嚴格...(汗
只是針對這個例子給個概念上的東西
→ newversion  : 無窮大(/小),是一個很奇怪的事情, 無窮多個有理數相
→ newversion  : 加,可以等於一個無理數,太神奇了!!
※ 編輯: RicciCurvatu (96.32.155.2), 11/09/2018 17:41:32
推 Vulpix      : 我想說的真的是density of Q 啦...是我說錯。
get it.
※ 編輯: RicciCurvatu (96.32.155.2), 11/09/2018 19:38:04
→ arthurduh1  : 哦哦, 用完備集定義那就真的是顯而易見的性質