Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《ThePeaceMan (TPM)》之銘言：
:         小弟目前讀高一。在高中，老師給出了0.999...=1的證明，但想想總覺彆扭
: ，若上式成立，則1-0.999...=0.00..1(無限小)=0亦成立。
:         由於有理數具有稠密性，故我們可用二分法逼近一個無理數，像根號2介在1
: 與2之間，又有理數的運算具有封閉性(除數不為0)，故我們最後能找到m<根號2<n，且
: m,n皆為有理數，兩數與根號2的差距皆為無限小。由0.999...=1的證明中，我們可得
: 知無限小等於0，m=根號2=n，故根號二為有理數?(怪怪的~)懇求大神解惑!


好像晚了(?)，無所謂來打一下好了，釐清觀念

p.s. 超長


ThePeaceMan 的問題最主要出在「無限」身上

無限並不是個容易懂的問題
數學家花了很長的時間理解無限的概念
事實上，數學界三大危機(我忘了從哪裡來的名詞)
1. 無理數(無法寫成有有理數比值)
2. 微積分(無限小)  3. 集合論(無限大)
或多或少都跟無限有關係


要徹底解決 ThePeaceMan 的問題
還是直接把數學家定義「無限」的方式，給學過一遍會比較好


A. 正整數

Peano對自然數有個定義
不過就算沒這個定義，自然數大家都懂

(Def) 「有限」的意思，就是總共有n個，n是隨便一個自然數
(Def) 「無限大」的意思，就是比所有自然數都還要大

因此可以立刻得到一個結論
(Prop) 自然數的個數是「無限大」，也就是自然數有無限多個
因為從1開始數，數到n+1就代表自然數的個數比n多，因此由數學歸納法得證

另外，還有個明顯的結論
(Prop) 「無限大」不是自然數
因為如果是，「無限大」等於n，那n+1就比「無限大」還大，矛盾


總結以上，就會得到很神奇的說法：
每個自然數都是有限的，但自然數有無限多個，而且無限大不是自然數

還有個特別容易混淆的地方：
數學歸納法可以證明每個自然數都正確，但不能證明無限大也是正確的
畢竟數學歸納法是倒骨牌，每張骨牌都是都是有編號的，當然都算有限


B. 有理數

數學家有個從正整數生出整數的定義
還有個從整數生出有理數的定義(而且其實兩個差不多)
可是那很麻煩，這邊靠國中直覺就好了

有理數，就是兩個整數a, b的比值(b不能是0)

(Prop) 有理數對加減乘除皆有封閉性
證明很直觀但打字很累我懶

(Prop) 有理數具有稠密性
這個也很直觀，加起來除以二就好
但是會用到有理數一堆其他性質，全部打出來也很多所以不打XD


重點是以下這個
(Prop) 有理數符合阿基米德公理(Archimedean Property)
       給定某個有理數 x 和某個正有理數 y > 0
       一定有個正整數 n 使得 ny > x
證明上，把分母乘一乘變整數就結束了

這個性質看起來有點冗長，舉例來說就是
不管硬碟(x)有多大，檔案(y)有多小，只要檔案夠多(n)，一定能把硬碟撐爆


所以現在來討論有理數版本的無限

(Def) 「有限」即為任意有理數
(Def) 「(正)無限大」的意思是比任何有理數都還要大
(Def) 「(正)無限小」的意思是比0大，但比任何正有理數還要小

根據阿基米德公理，立刻可以得到
(Prop) 「無限大」和「無限小」通通不是無理數
因為只要把「無限大」當硬碟，或是把「無限小」當檔案，就得到矛盾了

值得注意的是，其實無限小的定義可以改成
(Def) 「無限小2」的意思是大於等於0，但比任何正有理數還要小
那很容易證明「無限小2」就是0，跟V大說法一致


另外，有個必須提的地方，那就是封閉性的擴張版本
(Prop) 任意n個有理數相加仍然是有理數，n是自然數
這顯然可以用數學歸納法證出來

但是上面說過了，數學歸納法證明了所有有限的情況，但不能證明無限的情況
所以有限個有理數相加有封閉性，無限個有理數相加就不知道了

諸如 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
或是 1 + 0.4 + 0.01 + 0.004 + 0.0002 + 0.00001 + ...
這種無窮級數的情況，即使是一堆有理數相加，也不保證會加出有理數
(雖然也有可能是有理數就是了，像第一排級數是2，第二排級數是√2)



C. 實數

我喜歡用Dedekind的方式，這裡會從有理數的洞開始講
而且這裡不會照國高中的直觀方式，會認真走一次實數的定義
實際上這是學極限和微積分的基礎


我們把所有有理數 Q 分成兩半， Q = A 聯集 B， A 和 B 互斥

A集合: 如果 x 在 A 裡面，y 比 x 還要小，則 y 也在 A 裡面
B集合: 如果 x 在 B 裡面，y 比 x 還要大，則 x 也在 B 裡面

畫一條有理數線，就能很明確看出來 A 是左半邊，B是右半邊
詳細來說，會發生以下三種情況

(1) A有最大值，B沒有最小值

Ａ───────●
　　　　　　　　○───────Ｂ

(2) A沒有最大值，而B有最小值

Ａ───────○
　　　　　　　　●───────Ｂ

(3) A沒有最大值，B也沒有最小值

Ａ───────○
　　　　　　　　○───────Ｂ


(1) 的例子是 {x <= 0} 和 {x > 0}
(2) 的例子是 {x < 0} 和 {x >= 0}

(3) 就很神奇了，怎麼會兩個都白圈圈呢，但還真的有這個情況
例子是 A = {有理數 x 符合 x < 0 或是 x^2 < 2}
       B = {有理數 x 符合 x > 0 且 x^2 > 2}
中間看起來有個數不見了，沒錯就是√2，但不需要管它，因為它不是有理數
(而且定義只使用了有理數喔，沒有碰到√2)

現在假設 u > 0 是 A 裡面的最大值，則考慮 v = (2u+2)/(u+2)
2 - v^2 = 2 - (4u^2+8u+4)/(u^2+4u+4) = 2(2-u^2)/(u+2)^2 > 0
以及 v - u = (2-u^2)/(u+2) > 0
因此 v 也在 A 裡面，但是 v > u 矛盾

同樣的，假設 u 是 B 裡面的最小值，考慮 v = (2u+2)/(u+2)
可以得到 v 也在 B 裡面，但 v < u 矛盾

所以這的確是(3)的例子，我們把這種情況叫做有理數的洞
這造成了一個現象，即使有理數具有稠密性，但有理數還是會有洞

同時也回答了 ThePeaceMan 的一個問題
沒錯是有有理數 m < √2 < n，而且 m 和 n 中間有一堆有理數，例如c
但是怎麼切，要馬 c < √2，要馬 c > √2，總是摸不到√2
更糟的是不管切幾次都切不到√2
可是又不能切無限次 (不然就不一定是有理數了)


實數就是來解決這個問題的。

建構實數是一個補洞的過程
實數必須要連洞都沒有，我們稱為實數的完備性
比起稠密性，大概是巧克力醬和巧克力粉的差別(才不是這樣)

也就是說，如果實數 R 也照上面的切法 R = A 聯集 B
則只有(1)和(2)會出現，不會有(3)的洞

同時實數允許「切無限次」和「加無限次」的行為
數學上稱之為極限，這下面會提到


(Def) A集合是一個「切割」(cut)，代表A集合滿足
(i)   A集合的元素都是有理數
(ii)  A不是空集合，也不是全有理數集合
(iii) 如果 x 屬於 A，y < x，則 y 也屬於 A
(iv)  如果 x 屬於 A，則必定有個 z > x，且 z 仍然屬於 A

A集合的樣子就是 Ａ───────○
(iv)是這個定義的靈魂，它代表A集合右端是白圈圈，也就是A集合沒有最大值
雖然A集合內所有數都是有理數，但白圈圈那個位置不見得是有理數
B集合不需要特別定義，因為只要令 B = Q - A 就好


接著，Dedekind就超沒道理的宣布所有「切割」都是實數，組成實數集合

原則上可以想像每個「切割」就代表那個處於白圈圈所在的點

　Ａ───────○
─────────┼─────→
　　　　　　　　　●
　　　　　　　　　Ａ

不過在證明的時候，回到原本「切割」的定義才好做

另外所有有理數 q 都能用 { x < q } 來代表
所以有理數可以融進實數裡面
並且保有所有有理數原本該有的性質


既然說是實數，那就必須要驗證數學上實數的定義
(a) 實數對加減乘除有封閉性，加乘有交換律結合律分配律
(b) 實數可以比大小，且某種程度上能和(a)融合
(c) 實數具有完備性

(a)和(b)其實是一大票定義和冗長的證明(cf. Rudin)
而且有理數也有這些性質。實數只多了有理數一個(c)

這邊只示範為什麼(c)是對的


====================== (c) 的證明很長可跳過 ============================


首先，兩個「切割」的比大小，其實是比誰比較長，集合上則是誰包含誰
也就是說 A <= C 意思就是 A 包含於 C
Ａ───────○
Ｃ─────────○

因此，如果有一堆「切割」要取最大值，有一個捷徑
那就是把所有「切割」當成集合取聯集就好
關鍵是，聯集不只可以聯集有限個集合，也可以聯集無限個集合，毫無壓力

p.s. 有限個「切割」聯集出來的東西，會是原本「切割」的其中一個
但無限個「切割」聯集出來的東西，可以不是原本「切割」的任何一個
例如令 A_n = { x < -1/n}
則所有 A_n 的聯集是 A = { x < 0 } ，因為所有負數都總比一個 -1/n 小
顯然 A 不是任何一個 A_n

數學上分成 maximum (最大值) 和 supremum (...好像沒名字orz)
這兩個最大的差別是，max要是原本的其中一個，sup可以不用


現在我們把 R 切成兩個集合 LEFT 和 RIGHT，R = LEFT 聯集 RIGHT，兩者互斥

若 A 在 LEFT  裡面，B < A，則 B 也在 LEFT  裡面
若 A 在 RIGHT 裡面，B > A，則 B 也在 RIGHT 裡面


　　　　ＬＥＦＴ　　　　　　　　ＲＩＧＨＴ
　　　　　　　　　　　　‧
Ａ───────○　　　‧
Ｂ───○　　　　　　　‧
Ｃ─────────○　‧
　　　　　　　　　　　　‧
　───────────‧─○　　　　　　　　Ｘ
　───────────‧────────○　Ｙ
　───────────‧────○　　　　　Ｚ
　　　　　　　　　　　　‧

概念上和 Q = A 聯集 B 一樣，只是硬要用「切割」畫圖就很醜
(用「切割」對應實數點的原則，用實數點畫，就完全沒兩樣了，但是會混淆XD)

現在令 L = 所有 LEFT 裡面「切割」的聯集
明顯的 L 也是個「切割」(都長那個樣子，左邊一條線加白圈圈)
p.s. L 不一定是原本 LEFT 裡面任一個，所以 L 不見得要在 LEFT 裡面

於是根據 L 所屬分成兩個情況

(Case 1) L 屬於 LEFT
如果 A 是 LEFT 的「切割」，既然 L 是所有人聯集
那 L 就包含 A，因此 L >= A；
既然 A 是隨便一個，那 L >= 所有 A，也就是說 L 是 LEFT 中的最大值

(Case 2) L 屬於 RIGHT
如果 Z 是 RIGHT 的「切割」，那 Z 就不在 LEFT 裡面
對於任何 A 是 LEFT 的「切割」，如果 Z < A，Z 就也在 LEFT 裡面，矛盾
因此 Z >= A；既然 A 是隨便一個，Z >= 所有 A
那 Z 也 >= 所有 A 的聯集，也就是 L；
既然 Z 也是隨便一個，代表所有 Z 都 >= L，因此 L 是 RIGHT 中的最小值


因此把實數切成兩半，只會有(1)和(2)的情況，就不會有(3)了
沒有洞就代表實數具有完備性


============================ (c)的證明結束 ===========================


嘛，用中文寫會很冗，實際上用數學符號寫沒那麼長啦
每步都很基本，但全部加起來不見得很好懂，總之數學系的證明大多都長這樣



D. 實數的完備性

實數的完備性有很多等價的敘述(cf. wiki)
有很多看起來很天然的性質，一些說起來理所當然的東西
背後其實都是實數的完備性


以下是實數的完備性的等價敘述之一
(Prop) 給定遞增的實數數列 a_1 <= a_2 <= a_3 <= ...
       如果有個上界 M >= 所有 a_k
       則有唯一一個最小上界 a ，不但 >= 所有 a_k ，還 <= 所有其他可能的上界
證明跟上面的(c)半斤八兩

這個畫圖非常容易理解(但是ptt很難畫qw q)

Ｍ　──────────────

ａ　──────────────
　　　　　　　　　　　　‧　‧
　　　　　　　　‧　‧　
　　　　　　‧
　　　　‧


　　‧
ａ＿１　２　３　４　５　６　７

大概就是如果雲一直飄高，且上面被蓋住(M)，那就一定有水平漸近線(a)的意思
而且這條漸近線顯然不應該有兩條

把√2將Q分成A和B的例子改一改，就能說明有理數辦不到這件事
(因為那條該有的漸進線√2不是個有理數)
這是實數才有的性質，完備性的特權


從此之後，我們才能定義，國高中當成理所當然的，各種常見實數


(Def) 「無限小數」是某個遞增有限小數的最小上界(漸近線)
(有限小數都是有理數，而有理數都是實數)

舉例，pi 是數列 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... 的最小上界

(Thm) 所有無限小數都是實數
這不明擺著剛好用上面那個Prop

實際上所有實數都能寫成有限或無限小數(煩躁的十進位證明)
也就是「實數」=「所有小數」


(Thm) 對於任何正實數 a，正整數 n
      必定有唯一一個正實數 x 滿足 x^n = a
這個證明有點麻煩就省略了(cf. Rudin)

(Def) 上面那個 x 叫做 a 的 n 次方根，也就是 ^n√a，或者 a^(1/n)

(Def) a > 0, 如果 r 是有理數 p/q，則 a^r = (a^(1/q))^p
(Def) a > 0, 如果 r 不是有理數，把 r 寫成遞增有理數數列 r_1, r_2, ... 的上界
      則 a^r 就是 a^(r_1), a^(r_2), a^(r_3), ... 的上界

所以 2^pi 或是 (√2)^(√2) 等神奇的東西就能定義了
高中課本其實也是這樣寫，只是通常說是被一個數列「趨近」，然後就帶過了

sin x 等三角函數數值比較無解一點
這要學到微積分的泰勒展開式才能輕鬆說明他們是實數


另外，實數的完備性也能拿來證明實數滿足阿基米德公理

(Def) 「有限」即為任意實數
(Def) 「(正)無限大」的意思是比任何實數都還要大
(Def) 「(正)無限小」的意思是比0大，但比任何正實數還要小

根據阿基米德公理，可以得到
(Prop) 「無限大」和「無限小」通通不是實數



E. 極限

極限跟上面那個遞增數列最小上界的例子很像

基本上只差在數列不一定要遞增，所以「趨近」必須要講的非常清楚而已


(Def) 給定一個數列 a_1, a_2, a_3, ...

      我們說「數列最終和 L 的誤差不超過 e > 0」
      代表從某個 a_N 開始，所有 a_N, a_(N+1), a_(N+2), ...
      都和 L 差不到 e，也就是 | a_k - L | < e

      如果不管選哪個正數 e > 0
      都有「數列最終和 L 的誤差不超過 e > 0」
      那我們說「數列的極限是 L」，記作 L = lim_(n -> ∞) a_n


　　　　　　　‧　　　│
＋ｅ　‧　────────────
　　　　　　　　　　　‧
　Ｌ　──────────────
　　　　　　　　　　　│　‧　‧
－ｅ　─────　‧　──────
　　　　　　　　　　　│　
　　　　　‧
　ａ＿１　２　３　４　５　６　７

　　　　　　　　　　　├→
　　　　　　　　　　　Ｎ

注意到當誤差 e 變小的時候，起始項 N 可能會變大
但無所謂，我們只要每個e都能找到一個N就好

隨著指定誤差 e 變小，我們可以找到更大的 N
從這項開始，a_k 都距離 L 不到指定誤差 e 以內
這就是數學上「趨近」的說法了


從這裡可以看到
「極限」本身是個類似漸近線或是目標的東西
「極限」是個定值，沒有跟著數列變動這回事
「極限」不見得要是數列中的任何一項


類似的定義，現在來說明什麼是收斂

(Def) 給定一個數列 a_1, a_2, a_3, ...

      我們說「數列最終的震動誤差不超過 e > 0」
      代表從某個 a_N 開始，所有 a_N, a_(N+1), a_(N+2), ...
      其中任兩項都差不到 e，也就是 | a_k - a_t | < e

      如果不管選哪個正數 e > 0
      都有「數列最終和的震動誤差不超過 e > 0」
      那我們說「數列會收斂」，或者說這是柯西數列

極限一定要先有一個 L 當基準值
但收斂不考慮這個，只是互相比較

很容易可以說明有極限的數列一定會收斂
但會收斂的數列不見得有極限
√2的例子可以生出一個收斂的有理數數列，但沒有有理數極限(因為應該要是√2)

實數的完備性能徹底解決這個問題
(Thm) 所有會收斂的實數數列，都一定有個極限
這個好像要用套圈圈定理，完備性另一個等價形式來證


從現在開始，我們都說「某個數列<a_n>收斂到極限L」
因為在實數上這兩個是同一回事
(除了L不見得能明確寫出準確值，就像沒有人能背出pi所有位數一樣)


無窮級數的收斂和數列沒兩樣，因為有限級數和本身就是一條數列

標準例子就是無窮小數了

0.999... 是 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... 的極限

考慮有限級數和的話，其實就是

0.999... 是 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... 的極限


當 L = 1 的時候，指定誤差 e = 0.00...01 (小數點後第 n 位是1)
則對應的 N 可以選擇 n+1，因此只要 k 超過 n+1
| 0.99...99 (k個9) - 1 | = 0.00...01 (小數點後第 k 位是1) < e

既然不管哪個指定誤差 e > 0 都有對應的 N
我們說 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ... 的極限就是 L = 1
可是原本我們說極限是 0.999... 啊，所以 1 = 0.999...
p.s. 極限當然不會有兩個，這很好證


至於 1 - 0.999... = 0.00...01 的說法，我個人不認同
理由應該有人說過了，因為 9 有無限多個
因此那個 1 不會在任何「有限」小數位上面
但是我們沒有「無限」小數位這種東西(無限不是個正整數)
所以那個 1 是想像出來的，本來就沒有

真要寫也是寫 1 - 0.999... = 0.000... = 0

或者說顯然 1 - 0.999... >= 0
但不管哪個k都有 1 - 0.999... < 0.00..01 (小數點後第k位為1)
所以 1 - 0.999... 只好是 0 了(因為實數沒有所謂的無限小正數)



F. 其他

快睡死了不想查，以下憑印象亂打(?)

(F1) 無理數的問題當然，就不是有理數嘛，不符畢式美學，所以有人被淹死了
     後來的人接受了無理數，但就只是接受，就像小學生接受無窮小數一樣
     嚴格的定義應該就是Dedekind的cut建構實數吧

(F2) 微積分的問題是分母的無限小，就dx/dt一臉0/0為什麼還除出東西
     而且除出來的結果超級正確，要說對也不是說錯也不是
     這個磨超久才被Cauchy解決，解決方案就是極限
     最後是Weierstrass寫出嚴格的極限定義

(F3) 集合論的問題是，如果不作限制的話，會自己產生矛盾
     可是集合論又是所有其他數學領域的基礎，所以所有數學家都慌了
     標準悖論就是「包含所有集合的集合」「所有(不包含自己的集合)的集合」
     問題通常出在集合太大，或是搞出自我指涉
     Zermelo生出了一個ZF公設解決了，但詳細我也不是很清楚

集合論不但定義了無限大，而且無限大還有分類
有些無限大會比其他無限大還要大等等鬼東西(Cantor是先知，但先知死的蠻慘的)
想知道的話，先從最簡單的可數的(countable)和不可數的(uncountable)下手吧

√2 有個近似有理數數列 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, ...
這個數列的特色是，例如 41/29 是所有分母為 29 或以下的數字中
和 √2 誤差最小的數字 (cf. wiki 連分數 continued fraction)



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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.167.52.234
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1541618007.A.909.html
※ 編輯: Desperato (118.167.52.234), 11/08/2018 03:28:59
推 cutekid     : 大推(y)
推 Vulpix      : 上確界或最小上界吧，不過這個比起sup更像lub。
好像沒什麼差別卻又不太一樣的感覺...
推 annboy      : 推推 第三次數學危機好像是因為羅素悖論的樣子
→ annboy      : 導致後來選擇公理出現 不過我也是看wiki的啦QQ
推 shuncheng   : 這篇厲害了！ 好長
→ h2o1125     : 推 非常清楚 0.999...就是等於1
→ h2o1125     : 會講1-0.999..=無限小  就是沒sense
其實從頭到尾我沒有否認無限小是不是數字
我只說無限小不是實數ow o

G_n = Z(當成加法群)，G = G_0 x G_1 x G_2 x ...
設 h_k = (..., 1, -10, ...), 1 是 G_(k-1) 的, -10 是 G_k 的
令 H = span(h_1, h_2, ...)
接著做 G/H，就能生出一個很像十進位的東西

設 f: G -> R, f(g_0, g_1, ...) = sum_(k=0)^inf 10^(-k) g_k
很顯然的 f(H) = {0}, 因此可以變成 f: G/H -> R

現在就能看出 G/H 中
(1, 0, 0, ...) 和 (0, 9, 9, ...) 其實是不一樣的兩個東西
他們相減是 (1, -9, -9, ...) 就差不多是無限小了
注意到 f(1, -9, -9, ...) = 0 所以在實數上看不出這東西

R其實以上是我自己掰的，我只是聽過有人說過很像這個的東西

噢噢 說不定 (1, 10, 100, 1000, ...) 就是無限大呢(?)
而且顯然考慮比大小的話 有一堆不一樣大小的無限大
我覺得我弄出了一個自己都不是很理解的東西XD 這到底是什麼RRR

(編輯) 我覺得這個有問題 先不要理我好了XD
推 baxiche     : 所以sup跟lub是不同的東西嗎？
→ baxiche     : 有書上寫的sup定義跟文中的lub一樣
R我知道了 給定 S subset E
sup S 不一定要是 E 的元素，但 lub of S 應該要是 E 的元素
所以 sup 一定會存在，lub 不一定要看 E
(我是唬爛的XD 有可能sup就像lub一樣也要是 E 的元素 那就真的沒差了)
→ h2o1125     : 我這樣說好了 0.99999...是個實數  1也是實數
→ h2o1125     : 會把兩個實數相減描述成"無限小" 不覺得很蠢嗎？
→ h2o1125     : 特別是還回答一個高中生  根本是誤人子弟啊
無限小不是問題吧 解釋一下無限小是 0 就好 那個 0.00...01 才是誤人子弟
※ 編輯: Desperato (36.228.196.163), 11/08/2018 21:39:00
→ yyc2008     : 請問第二排級數是√2是怎麼算的?
→ ERT312      : sup只有一種解釋，但lub還有另一種生動的解釋
→ Ricestone   : ↑↑把x=2+1/x，右邊丟進右邊的x裡面變成連分數
→ Ricestone   : 然後減1
→ Ricestone   : 把x代2變成的連分數分段看就是那數列
→ Ricestone   : 呃...應該不用代2進去，它直接就是連分數了
推 ThePeaceMan : 解釋清晰 推一個
推 shuncheng   : 戴德金的切斷 詳情請閱神通小偵探第15卷 (誤
推 znmkhxrw    : 推~
推 kuromu      : .
推 paulpork    : 齊震宇的微積分一(yt有影片) 前幾堂課就在搞這個
推 water200427 : 推樓上
推 paulpork    : 樓上打球
推 bye2007     : 大推