Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問

[h2o1125 (123)]

整個問題的核心  就在於  1-0.99999...的直觀上

舉個例子：

1/9=0.111111.....


1/9-0.11111......   會不會有人說無限小  所以等於0



不會吧  因為直觀上不會說出這樣的說法

但是呢

1-0.99999...   就會有人說出  無限小   所以等於0

因為直觀上好像就差了一點  但那一點就是無限小

但是嚴謹或正式的數學絕對不是這樣

0.1111....  跟0.99999...  都牽扯到一個定義  極限


不管用級數和或是數列  就是極限

那回到極限的定義  lim an=L iff  give ε>0  ∣lim an -L∣<ε for some n

所以說  當你在寫出0.1111.... 或0.999...時  就要清楚的瞭解到

要嘛這個東西要嘛是實數  要嘛就不是實數  而是不是實數  就是極限是否存在

這也是為什麼  有人說0.999...不一定是實數   我覺得很好笑與鬼扯

就是希爾伯特提過的  一個問題一定有是或否的答案

0.999...不可能同時是實數又不是實數  (當然要扯不同topology space就沒意義)

所以  會說0.999...不一定是實數  觀念就很差  把0.999..當成是一個不能處理的東西

舉個例子   在非 hausdroff space空間下  一個數列可能同時收斂到2個點

也就是說  一個數列在合法的定義下有2個極限

所以說  我們處理無限  是用一個有限的定義方式去處理無限

而就0.999...與1的問題  不過就是一個障眼法而已

會把0.999...-1  說成無限小    在我個人認為  真的觀念不夠好

沒有sense 會誤人子弟   說成無限小  不就跟0.0000...000...1是一樣的意思？

真正的無限小  指的是  give ε>0  ∣an∣<ε

請注意  為什麼要用an數列  如果an是常數數列  那an就是0

如果an不是常數數列  那an也是無限小

這個定義真正的內涵是  "要多小  就有多小，比你給的任何數還小"

所以為什麼我說動態的  就是通常是個數列

那如果是0   那就直接說0就好  不需要脫著褲子放屁  說因為無限小  所以=0

0.9999...與1的在實數軸上的距離  就是0  不是什麼無限小  反證法即可輕鬆證明

那為什麼有些人會覺得無限小  就是把0.999..  感覺那個9會一直多下去

感覺那個9會一直多下去  其實是一種級數和  Sn=9*sum 10^-i  的感覺

所以會覺得有  "愈來愈接近"的感覺   那就是一種錯覺

因為0.9999...  是一個數字  =L   這個數字不會一直動

自然不會用無限小來描述它與1的距離

就像我們不會說0.5與0.5的距離是無限小   會直接說是0

為什麼說沒有sense   就是0.999...基本上這個符號已經描述了極限的過程

所以0.999...   這是一個極限值  如果不用這種觀念  那很多算術沒法做

像0.000000000.....  與1.0000000....  這兩個如何在不用極限下情況下做減法?

舉個例子在嚴謹的步驟下  5*0.333.... 如何演算？

先證明0.3333... 的極限存在 有界+遞增=L  再證明L=1/3  再計算5*L

所以說  會把1-0.999...講成是無限小的人  觀念就差很多

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→ Vulpix      : 只認識實數的人談無限小是不嚴謹的沒錯，但認識超實
→ Vulpix      : 數的人，無限小都是嚴謹的實體。無限小並沒有包含
→ Vulpix      : 那個奇怪的0.00...01，但是[0.1,0.01,0.001,...]是
→ Vulpix      : 超實數中一個非0的無限小，也是[0.9,0.99,0.999,..]
→ Vulpix      : 與1的差值。數列<a_n>取極限這個過程從超實數的觀點
→ Vulpix      : 來看就是一個把無限小從數列中扣除而已。
→ Vulpix      : (比較精確的說法是取標準部份。)這只是語言不同，沒
→ Vulpix      : 有什麼觀念很差這種說法。一個不認識實數的人也可以
→ Vulpix      : 用有理柯西數列去表示實數(這正是多數人的用法，只
→ Vulpix      : 是大家都用同一個遞增有上界的數列)，但是對認識實
→ Vulpix      : 數的人來說，已經把實數看作是實體了，不用每次使用
→ Vulpix      : 都想成一串有理數的逼近。
→ Vulpix      : 修一句：來看就是把一個無限小從超實數中扣除而已。
→ Vulpix      : 我用超實數算一遍5*0.333....給你看：
→ Vulpix      : 5=[5,5,5,...], 0.333...=st[0.3,0.33,0.333,...]
→ Vulpix      : 相乘=st[1.5,1.65,1.665,1.6665,...]
→ Vulpix      :     =st(5/3+[-1/6,-1/60,-1/600,...])=5/3
→ Vulpix      : 那個[-1/6,-1/60,-1/600,...]就是一個無限小。他和
→ Vulpix      : 其他無限小之間可以運算，例如他是[1,0.1,0.01,...]
→ Vulpix      : 的-1/6倍。他的平方也是另一個無限小：[1/36,1/3600
→ Vulpix      : ,1/216000,...]。
→ Vulpix      : 定義出超實數的意義主要是讓「無限小」和「無限大」
→ Vulpix      : 能夠做代數運算。超複數系仍然代數封閉這一點也令人
→ Vulpix      : 高興。都只是因為這樣定義方便，也讓無限小/大能被
→ Vulpix      : 直觀地正視。
推 Desperato   : 希爾伯特不是已經被哥德爾打臉了嗎(欸
→ Vulpix      : 不是cardinality的無限大啦>"<兩個結構不能彼此包含
→ Vulpix      : 這邊的無限大用實數的觀點來看待的話就是數列暴衝的
→ Vulpix      : 快慢程度。
→ arthurduh1  : 1. 撇開哥德爾不完備定理, 希爾伯特原本的敘述也
→ arthurduh1  :    不是這樣用的. 他們講的東西涉及可證性, 但我們
→ arthurduh1  :    這裡說的就只是 "定義". 定義沒啥好證明的,
→ arthurduh1  :    也沒有什麼對不對, 只有好不好.
→ arthurduh1  : 2. 上一篇就提過的, 一直講無窮小可能真的會造成
→ arthurduh1  :    初學者混亂. 畢竟如你一般有讀過實數完備性的人
→ arthurduh1  :    都無法接受了. 但是你開口閉口批評以不同角度
→ arthurduh1  :    去思考這件事情的人, 這就是另一件事了.
→ arthurduh1  :    比如說一個只會實數的人, 覺得複數不實用沒關係.
→ arthurduh1  :    但他如果一直說: x^2+1=0 就是無解, 特地造出
→ arthurduh1  :    複數的人根本沒常識. 你會怎麼想?
→ arthurduh1  : 3. 也不是 "不一定是實數", 是 "不一定要當實數".
→ arthurduh1  :    你可以回去看我原文的推文. 比如 1 不一定要當
→ arthurduh1  :    正整數, 可以看做 Z_7 裡的乘法單位元.
→ arthurduh1  :    同時也沒人說不當實數就不能處理. 私信提到的
→ arthurduh1  :    wiki 0.999... 條目, Revisiting subtraction
→ arthurduh1  :    小節, 就是把它當成某種 semiring 的元素來處理.
→ arthurduh1  : 4. 直觀不能當證明, 但能幫助理解. 公理本身就是
→ arthurduh1  :    被選擇接受的直觀. 比如說無限大不是實數, 但
→ arthurduh1  :    對於無限大的某些直觀, 促使我們訂出了
→ arthurduh1  :    Real projective line 等等納入無限大的數系.
→ arthurduh1  :    (也許說 Extended real number line 會更好)