※ 引述《ThePeaceMan (TPM)》之銘言：
: 小弟目前讀高一。在高中，老師給出了0.999...=1的證明，但想想總覺彆扭
: ，若上式成立，則1-0.999...=0.00..1(無限小)=0亦成立。
: 由於有理數具有稠密性，故我們可用二分法逼近一個無理數，像根號2介在1
: 與2之間，又有理數的運算具有封閉性(除數不為0)，故我們最後能找到m<根號2<n，且
: m,n皆為有理數，兩數與根號2的差距皆為無限小。由0.999...=1的證明中，我們可得
: 知無限小等於0，m=根號2=n，故根號二為有理數?(怪怪的~)懇求大神解惑!
嗨你好
因為我們在高一，所以我們暫時假設實數系已經被建構好了
你的想法很有趣，但是類比時出了一些問題
1、
0.999... (可以)被定義成
{0.9, 0.99, 0.999,...}的極限
(而不是小數點後面有無限多個9)
2、
無論你們老師證明的過程為何，主要是在證明此極限{0.9, 0.99, 0.999,...}為1
而不是在證明無限小是0
3、
正確的類比為
老師證明了{0.9, 0.99, 0.999,...}的極限是1
你找到了「許多個」m (或n)
比如說{1.4, 1.41, 1.414,...}
然後發現這個數列的極限是根號2
(類比指的是，兩者想法都是把一個實數用數列來逼近)
4、
有理數列的極限不一定是有理數，所以不能推論根號2是有理數
PS
當我們脫離高中後，「小數點後面有無限多個9」、「無限大」等等當然都是可以被定義
的
那就是後話了
希望有幫助到你
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