Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問

[zhanguihan (han)]

原文恕刪。

相信經過版上各位神人的解釋，原作者應該可以解惑他的問題。

想打這篇主要是提供另一個思維給各位參考。

沒想到到了大叔的年紀，台灣的數學教育還是跟敝人在求學階段沒差別。

想必原作者在學習時，老師應該抱持著
"先接受，以後長大的就會了解或有人會更詳細的說明"的心態在教學。

並不是怪學校老師沒教好，畢竟現在還是有升學壓力。

在這環境下，老師自然就有業績的壓力，只好抱持著上述之態度對教學比較快有成效。

只是敝人覺得人一旦有抽象能力後就該慢慢地學習數學的相關方法論。

不管是否從事數學研究，此方法論在不同領域或職場都可以派上用場。

回歸正題，開宗明義地講，"數學是建構的"。

所謂"建構"就是"用已知去推測未知"的一個過程。

原作者的問題其實在小學時就已經有接觸到，只是沒有注意而已。

相信大家都知道圓周率，只是圓周率怎麼來的?

圓周率的定義是圓周長與直徑的比值，但這個比值為何一個定值，
跟圓的大小(直徑)無關?

相信小學時老師的作法是拿棉繩去圍繞一個圓的邊界，再把棉繩拉直後拿尺量
就可以得圓周長。

另一方面，直徑也可以測量。兩個數值相除就得圓周率。

這時老師一定會問教室內不同學生所得之比值，發現大家量出來的都差不多。

就結論圓周率不應跟圓的大小有關。

這樣的說法對小學生是好理解，但不是嚴謹，
誰知道另一班的學生是否也得到差不多的比值。
更甚者，隨便抓個路人做上述的動作是否也可得到一樣的結論?

因此就需要其他的方式去證明。

最常見的拿內接正n邊形(或外切正n邊形)去"近似"圓周長。

拿正n邊形是因為其周長有解析的公式(用餘弦定理可得)。

此周長與直徑的比值會發現與直徑無關，在n很大時會很靠近一個定值，這就是圓周率。

因比值與直徑無關，因此圓周率跟圓的大小無關。

回應一開始敝人對數學的看法，我們拿已知(正n邊形)去推測未知(圓周長)。

在此注意的是，不管哪個正n邊形給出的周長都不會與圓周長相等，
只是會趨近一個定值，隨著n越來越大。

回到原作者的問題(1為何等於0.9循環)﹐你可以把0.9循環當成上述的正n邊形，
1類比成圓周長。

這兩個動作都是一樣，那圓周長你可以接受為何1等於0.9循環為何不接受?

敝人認為只是"圓周長你一開始不知道所以要用上述之方式而得到，
而1這個數字你一開始知道就覺得上述的逼近方式不是合法的"。

當然你可以問：為何要用這樣的方式去理解數字?

這是因為實數線上有很多數字無法用"有限的過程"得到。

最早的被發現的無理數是根號2(還是其他，這部分我沒有研究)，
是邊長為1單位的正方形之對角線長。

但不是所有實數都可以像根號2一樣可以用"有限的方式"得到(例如：圓周率就無法)。

因此才會有版友們討論的"Dedekind cut"去建構實數系。

但不管多深奧，都不脫離"用已知去推測未知"的精神。

這種精神在建立一個complete Hilbert space也是可以通用(題外話)。

最後，敝人雖然很感慨台灣的數學教育過了那麼久還是沒甚麼變化，

但還是勉勵原作者能學習及了解到上述之精神。

共勉之。

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推 Vulpix      : 感謝大師！
推 Vulpix      : 不過大帥，我覺得圓周率本來就是定值XD  計算圓周率
→ Vulpix      : 的方法可以是割圓術，但「圓周率是定值」是因為我們
→ Vulpix      : 先天用了歐式空間的假設，用割圓術來驗證定值這件事
→ Vulpix      : ，說穿了就是「對每個半徑，都算出同一條數列。」那
→ Vulpix      : 當然極限都是同一個(甚至有可能一同發散)。
→ Vulpix      : 歐氏(前面打錯字了)空間只用五公理五公設是不夠的，
→ Vulpix      : 相似形這個概念獨立於他們，有必要另外給公設，完整
→ Vulpix      : 的公設可以在許多地方查閱到。圓周率是定值的本質是
→ Vulpix      : 「所有的圓都彼此相似。」而這個概念沒意外的話應該
→ Vulpix      : 可以用「圓上任意多邊形都能在另一圓上找到相似形」
→ Vulpix      : 加以定義。
→ arthurduh1  : 沒有定義出 "周長" 才是闕漏之處
推 wohtp       : 有所謂「抽象能力」的人其實沒那麼多哪。
→ wohtp       : 就算在常春藤盟校，照樣有理工科學生微積分被當，證
→ wohtp       : 明不好epsilon-delta
→ wohtp       : 還要他們念高微、建構實數，不如要他們死
→ wohtp       : 「數學」和「算數」之間的天淵之別是這門學問的原罪
→ wohtp       : ，我覺得不能光是怪罪哪個國家的教育系統沒有把數學
→ wohtp       : 的精神教給小孩子
→ arthurduh1  : 抽象能力也不一定那麼早發展得好
→ recorriendo : 在中小學交抽象數學 裡史上早就發生過了 在我國就是
→ recorriendo : 當年的"實驗本"教材 結局就是一個慘字
→ recorriendo : 美國也曾經試過 叫做New Math教案 也是悲劇
→ recorriendo : Why Johnny Can't Add這本書就在寫為何New Math失敗
→ zhanguihan  : 樓上各位應該是誤會我的意思。我並不是要在剛有抽象
→ zhanguihan  : 能力後馬上學抽象數學，是要理解"建構過程"的態度
→ zhanguihan  : 精神。像內文中所舉圓周率的問題，我寫的根本不嚴謹
→ zhanguihan  : 。周長沒定義，更甚者，計算正n邊形周長需要三角函
→ zhanguihan  : 數而三角函數嚴格說需要用泰勒級數定義。我想闡述的
→ zhanguihan  : 是學習"建構"的精神，如何用已知之事物去了解未知，
→ zhanguihan  : 大方向對了剩下的細節就慢慢地補齊。