[線代] orthogonal matrix 的問題

[coco40725 (呦西呦西)]

我在課本上看到orthogonal matrix有一

個性質：

if Q is an orthogonal matrix , then Q^tQ=I .

請問這個條件若反過來的話依然成立嗎？
if Q^tQ=I, then Q is an orthogonal matrix.

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推 zhanguihan  : it is the definition of an orthogonal matrix
→ Ricestone   : 如果你是說用orthonormal vectors定義orthogonal
→ Ricestone   : matrix，那你就直接看每個向量會發生什麼
→ Ricestone   : (v^t)v就是內積
→ Ricestone   : 不對，我上面只是左推右
→ Ricestone   : 啊...其實一樣，就是直接看每個向量間的關係
→ Ricestone   : 都是iff
→ annboy      : 建議附上你書/講義上的定義 Q^tQ = QQ^t = I 本身
→ annboy      : 就可以是一個orthognal matrix的定義
→ annboy      : 我個人猜測你想要問的是:
→ annboy      : 如果Q是一組R^n空間裡orthonormal basis 的行向量
→ annboy      : 併成的n by n 矩陣，則Q^tQ = I 這件事。
→ annboy      : 則反過來對不對 ?
→ annboy      : 答案應該是肯定的，利用一個定理 :
→ annboy      : 假設A = [a_1 a_2 ... a_n]，其中 a_i都是行向量
→ annboy      : BA = [b_1 b_2 ... b_n] b_n也都是行向量
→ annboy      : 則b_i = Aa_i 。
→ annboy      : 用這樣的方式可以得到 若一方陣A滿足A^tA = AA^t =I
→ annboy      : 用上定理可得{a_i}恰好是一組orthonormal basis
→ annboy      : 不好意思打錯 上面應該是b_i = Ba_i