Re: [微積] 極限一題

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《ben102938 (善解人衣)》之銘言：
: https://i.imgur.com/dRHRSZz.jpg
: 我知道好像是因為勢是一樣的所以並不是直觀的1/2，我該怎麼證明?

嚴格來說題目沒有定義好，所以無解或是無限多組解都是答案 或是沒有答案(?

問題就出在要如何"翻譯題目"

       1+2+3+...
原題 = ────
       2+4+6+...

可以翻譯成 無限大/無限大 → 未定義

                   a_n
也可以翻譯成 lim   ──, where a_n = 1+2+...+n, b_n = 2+4+...+n → 1/2
            n→inf b_n


而R大說的可以是任何數，在於不一定分子分母要同樣的速度跑

嚴格陳述如下：

a_n = n(n+1)/2 , b_n = n(n+1)

現在任給兩絕對遞增函數p,q：N→N 都可以拿來定義原題

                a_p(n)
原題 :=  lim   ───
        n→inf  b_q(n)

舉例來說, p(n) = n^2 , q(n) = n

代表 n=1 → (1)/(2)
     n=2 → (1+2+3+4)/(2+4)
     n=3 → (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/(2+4+6)

且容易證明不論是0, +inf, 任何 L = N^2/(2M^2) > 0 ，都可以逼近：

(1) 想逼近0   ：取p(n) = n  , q(n) = n^2
(2) 想逼近+inf：取p(n) = n^2, q(n) = n
(3) 想逼近L   ：取p(n) = Nn , q(n) = Mn

至於能否逼近任何正實數L > 0 懶得動腦了XD

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推 annboy      : 推
推 ben102938   : 感謝，瞭解這題的意思了!
推 LPH66       : 似乎跟黎曼重排定理的"湊極限"感覺很像
→ znmkhxrw    : 一開始我以為R大在講黎曼重排 後來想到那要條件收斂
→ znmkhxrw    : 不知道有沒有general case for any a_n/b_n, where
→ znmkhxrw    : a_n, b_n→inf