[微積] Legendre polynomail遞迴式證明

[Lanjaja ()]

想請板上高手幫忙想一下，

如何從Rodrigue's formula P_n = (1/(2^n n!))(d/dx)^n (x^2 - 1)^n

證明以下遞迴式：

(n+1)P_(n+1) = (2n+1)xP_n - nP_(n-1)

想了好多天都作不出來，

懇請幫幫忙，

萬分感謝～

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→ Lanjaja     : 希望能由定義從(n+1)P_(n+1)直接推到右式
推 Desperato   : 試試 general leibniz rule
→ Vulpix      : 展開看係數。
推 Desperato   : 係數也太暴力了 不過可行
→ Vulpix      : 不想透過ODE或生成函數去做，就展開啊。
推 RicciCurvatu: 兩邊再微分一次=0 ,故為常數，然後 P_n(1)=1 for al
→ RicciCurvatu: l n 帶回原式仍為0 故原式為0
→ Lanjaja     : 我有用萊布尼茲 但是最後就會產生微分次數和x^2-1的
→ Lanjaja     : 次方不同的項 無法化掉 就卡住了
→ Lanjaja     : 我希望的是建構式的證明 不是已經知道關係式才驗證