推 eric911116 : 謝謝 11/25 17:44
※ 引述《eric911116 (葔777)》之銘言：
: https://i.imgur.com/nmFBN1C.jpg
: 想問圖中的G，我只能把題目給的展開後就不知道幹嘛了。請各位大大幫忙一下
不要展開, 這題要這樣看:
f(x) = (x-α)(x-β)(x-γ)-(x-α)(x-β)+4(x-α)
= (x-α)[(x-β)(x-γ)-(x-β)+4]
= (x-α){(x-β)[(x-γ)-1]+4}
這表示, f(x) 這多項式除以 x-α 整除,
其商再除以 x-β 餘 4,
再繼續拿商除以 x-γ 餘 -1
最後面可以看成是這第二個商即是 x-γ-1
倒回去看第二次除即知第一個商減去 4 後其兩根為β和γ+1
那麼來討論α, x^3-4x^2-11x+30 容易分解成 (x+3)(x-2)(x-5)
所以α可能為 -3, 2, 5
(1) α=-3: 商式為 x^2-7x+10, 減去 4 為 x^2-7x+6
兩根為 1, 6 故知此處 β=1, γ=5, 所求為 3^2+1^2+5^2 = 35
(2) α=2: 商式為 x^2-2x-15, 減去 4 為 x^2-2x-19, 較小根 < 0 不合
(3) α=5: 商式為 x^2+x-6, 減去 4 為 x^2+x-10, 較小根 < 0 不合
(之所以可知較小根 (β) < 0 是 (a) 判別式易知為正
(b) 常數項為負→兩實根乘積為負)
由此知只有 α=-3, β=1, γ=5 符合題意, 所求為 35
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'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done
one thing to make absolutely sure that every single person in this school
will read your interview, it was banning it!'
---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513
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