→ yyc2008 : 厲害 連wolfram這種鬼答案的過程都做得出來 11/29 21:16
推 semmy214 : 大大 第一種解法的c好像有誤 我算是a^3+a/(3a^2+1) 11/29 21:18
→ Desperato : 你算的沒錯 a^3+a+3=0 11/29 21:40
→ Desperato : 不過結果論來說 不換比較好 11/29 21:41
※ 引述《semmy214 (黃小六)》之銘言：
: http://imgur.com/a/sSpjBwY
: 求解
int x^2/(x^3+x+3) dx
由於沒有什麼特殊解法，所以只能硬幹了
x^3, x 皆為嚴格遞增函數，因此 x^3+x+3 亦為嚴格遞增函數
由中間值定理可知恰有一實根 a 滿足 a^3+a+3 = 0
p.s. 由三次方公式解可得
----------- -----------
3 /-27 + √741 3 / 27 + √741
a = / ----------- - / -----------
v 18 v 18
a = -1.2134 approx.
另外兩根皆為虛根 b, c
將 x^3+x+3 暴力除以 x-a 可得 x^2 + ax + (a^2+1) = 0
炸公式解可得
b = r + si, r = -a/2
c = r - si, s = (1/2)√(3a^2+4)
不過既然方程式已經用 a 表示，以下皆會使用 a 來計算
x^2 A Bx + C
f(x) = ------------- = ------- + --------------------
x^3 + x + 3 x - a x^2 + ax + (a^2+1)
a^2 a^2
A = lim_(x->a) (x-a) f(x) = -------------------- = ----------
a^2 + aa + (a^2+1) 3a^2 + 1
左右兩邊同乘 x^3 + x + 3 可得
x^2 = A(x^2+ax+(a^2+1)) + (Bx+C)(x-a)
1 = A + B
0 = aA - aB + C
0 = (a^2+1)A -aC
2a^2 + 1 a^2 + 1 -3
可得 B = 1-A = ----------, C = --------- A = ----------
3a^2 + 1 a 3a^2 + 1
因此可得
1 a^2 (2a^2 + 1)x - 3
f(x) = ---------- (------- + --------------------)
3a^2 + 1 x - a x^2 + ax + (a^2+1)
1 a^2 (a^2+1/2)(2x+a) a/2
= ------ (----- + ---------------- + ------------------------)
3a^2+1 x-a x^2+ax+(a^2+1) (x+a/2)^2 + (3a^2+4)/4
所以原式積分之後為
int f(x) dx
1 1 a 2x+a
= ------[a^2 log|x-a| + (a^2 + ---) log(x^2+ax+(a^2+1)) + --- arctan(----)] +k
3a^2+1 2 2s 2s
其中 s = (1/2)√(3a^2+4) 如同上面的虛部，k 是任意常數
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其實如果允許用複數的話，會簡潔很多
x^3+x+3 的三根用 a, b, c 表示，則
x^2 A B C
------------- = ------- + ------- + -------
x^3 + x + 3 x - a x - b x - c
a^2 b^2 c^2
可得 A = ----------, B = ----------, C = ----------
3a^2 + 1 3b^2 + 1 3c^2 + 1
因此積分可得
w^2
int f(x) dx = sum ---------- log(x - w) + k
w: w^3+w+3=0 3w^2 + 1
這是 wolframalpha 給的答案
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嗯嗯ow o
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