[中學] 用 secθ 表達 sinθ 的推導方式

[alan23273850 (God of Computer Science)]

各位板友大家好，打給賀，太軋賀，我這學期肩負著擔任助教的使命又上來發文，

這次想問的是如何用 secθ 表達 sinθ？

別跟我說 proofwiki 上有證明，我要的不是那個。我想問的是以下：

令 x = secθ，那麼有同學直接令斜邊為 x，底股 (夾角股) 為 1，

另一股自然為 sqrt(x^2-1)，這樣的話自然得到 sinθ = sqrt(x^2-1) / x。

有趣的是讓斜邊為 x 這個舉動剛好讓這個 sinθ 的表達式同時考慮正負兩種情況。

我想問的是令 x 為斜邊就能讓推導結果自然考慮正負兩種情況是巧合還是有理論依據。

因為斜邊不可能是負的嘛，所以這個做法感覺有點 tricky。

有合理正解者我皆會以 250P 不等的批幣伺候大家，穴穴～

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.218.7
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推 Desperato   : 是錯的吧 sin 和 cos 不會同時正負
→ Desperato   : 其實 sec 根本無法正常表示 sin
→ Desperato   : 除非 theta 有給不錯的範圍
忘了提，因為現在教積分的三角代換，所以θ會限制在第一、三象限，感謝大大提醒
如果是這樣的話有何解呢？
※ 編輯: alan23273850 (140.112.218.7), 12/04/2018 14:29:24
→ alan23273850: 是說這樣的話好像 sin 跟 cos 就會同正負了
推 Desperato   : 還是錯的 因為幾何上斜邊不會是負的 兩股才有可能
→ alan23273850: 所以只是巧合囉，那有沒有其他例子是讓斜邊代x會出
→ alan23273850: 現推導錯誤的例子，只是好奇，沒有一定，這有點難度
推 Desperato   : sin cos sec csc 互換不會有事情
→ Desperato   : tan 換 cos 會炸掉 因為 tan 無法表示 cos
→ Desperato   : 嗯 不對
→ Desperato   : sin 換 cos 就炸了啊wwwww
→ Desperato   : 因為這種寫法 第三邊一定是正的
→ Desperato   : 所以可能負的放斜邊沒事 放旁邊就會出事了
→ Desperato   : 好像也不是這樣 嘛 反正會出事啦(?)
→ Ricestone   : 它可以改成全部都加絕對值，最後再加一句根據象限判
→ Ricestone   : 判斷正負
→ Ricestone   : 也就是|Sinx|=√(|x|^2-1)/|x| = √(x^2-1)/|x|
→ Ricestone   : 又因為象限關係Sinx與x同正負，所以最後直接都沒有
→ Ricestone   : Sinx應該寫成Sinθ
→ Vulpix      : θ限制在I、III很奇怪，但在這個奇怪的條件下正餘切
→ Vulpix      : 都是正的，剩下四個都同號。
在三角代換裡面要讓 secθ 表達 1~∞ 或 -1~-∞，只有讓θ限制在第一、三象限一途，
這個範圍是課本定義的。如果定在第一、二象限會發生θ遞增而 |secθ| 遞減的情況。
→ Vulpix      : 所以同學寫「令 x=secθ，則 sinθ=√(x^2-1)/x」是
→ Vulpix      : 對的。但補上中間那個畫三角形的過程，就不對了。
→ Vulpix      : 斜邊可以是負的。問題是III的股都不是1這種正數。
※ 編輯: alan23273850 (140.112.218.7), 12/04/2018 15:18:57
→ Vulpix      : 如果你想討論那個……選I、II的好處就是secθ遞增。
→ alan23273850: 三位的批幣皆已送出，感謝大大們討論～