[分析] 關於 arccos 與 複對數 的理解

[jhnny97 (≡( ﾟДﾟ))]

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各位好，小弟在一些教材上看過反三角函數可以用複對數的方式表示，
並能把原先 [-1,1]、[0,2π] 的定義域與值域擴展到整個複數平面，

以arccos為例，藉由以下關係
https://i.imgur.com/GsLrauc.png

可以寫下方程式
https://i.imgur.com/xdjOMlk.png

為了書寫方便定義
https://i.imgur.com/rcwllzQ.png

以及表示方便，複對數取 branch cut
https://i.imgur.com/ZLqE41q.png

所以得到
https://i.imgur.com/Pa6GI2X.png

稍做整理有
https://i.imgur.com/ZylQJf4.png

為了使 C=-1,1 兩點連續 +- 都取 +，所以arccos可表示為
https://i.imgur.com/d2X0LRJ.png

小弟在這裡有幾個疑問，從推論上來看(1)、(2)的表示方式都可以
但它們在(-∞,-1)、(1,∞)的成長「方向」不同，

1.請問有通用的「常規」的表示方式嗎？
　計算上(1)似乎比較順，但很多數學軟體習慣用(2)？

2.請問經過這樣的推論後，在正式的學術論文中可以寫下arccos(θ)|θ>1這類式子嗎？
　之前在板上發過文，似乎有些版友覺得這樣不妥？

3.若 +- 取 -，不論+-2π都無法使C=-1,1兩點連續，是計算上哪邊出了紕漏的結果？

以上，先感謝各位板友解答

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※ 編輯: jhnny97 (140.113.136.219), 12/07/2018 15:28:39
→ Vulpix      : 你這樣寫的話，就要說清楚你的branch怎麼取。
→ Vulpix      : 但這不像log或高中的反三角函數有普遍的約定。
意思是兩種(甚至四種?)都可以，只要我講清楚怎用就好了的意思囉？感謝！
※ 編輯: jhnny97 (140.113.136.219), 12/07/2018 16:07:51
→ Vulpix      : 是，而且是你每用一次就要寫一次。