Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識

[KMS (半調子魔術師)]

版上已經很多人說明過

1+2+3 + … = -1/12

這個等式的錯誤是在於

等式的左邊是 zeta 函數在解析延拓前於 -1 的取值，

而右邊則是在解析延拓後(也就是換了一種函數的表示法) 的取值，

所以這個等式是沒有意義的。

但是事實上並不盡然，因為複變函數的解析延拓是很特別的，它是具有唯一性的。

而 Euler 對這個等式不嚴謹(不正確)的推導。

卻暗示了有可能只透過發散級數本身來得到這個解析延拓後的函數值。

而這件事情本身是非常有意義的。

有興趣的鄉民可以參考陶哲軒的部落格的一篇文章

https://tinyurl.com/j869xct

文章中介紹了 smooth cutoff 的概念，讓這類的發散級數可以直接從級數本身透過
 smooth cutoff得到解析延拓的值。


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   即使人的腦袋變得簡單的足以被了解,
              人們依舊將愚蠢的無法了解它.


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.22.196
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推 platinum500a: 一般情況下 兩個函數意義就不相同
→ platinum500a: 如果還要加上一堆奇怪條件 這樣討論結果可以無限多
→ KMS         : 重點是 smooth cutoff 是個很一般性的方法 是parti
→ KMS         : al sum的改良版 並不是奇奇怪怪的條件
推 platinum500a: 當初推導-1/12也是用很一般的推導方式 但是左右函數
→ platinum500a: 已經不是相同的東西了 只是含有重疊的部分 不能因為
→ platinum500a: 這樣說不重疊的部分是一樣的吧
推 platinum500a: 你說的的某個意義下收斂成立 所以其他意義收斂不成
→ platinum500a: 立 這樣子說不收斂也對收歛也對了啊 但是目前學到的
→ platinum500a: 東西對於等號跟收斂都是有個簡單定義的
推 Desperato   : 先推 雖然有點長qw q
※ 編輯: KMS (36.224.46.97), 12/07/2018 22:38:06
推 bill9228tw  : 推
推 HeterCompute: 原來還真能連結
→ ffv111      : https://youtu.be/T93SayXhw2w 李永樂老師解的
→ Ricestone   : 樓上，他其實三篇都沒有解過，只有說明為什麼會有人
→ Ricestone   : 說1+2+3+...=-1/12，主要是在講有解析延拓這東西
→ Ricestone   : 並且說明解析延拓跟原級數不該混淆
→ DLHZ        : 不太懂為什麼那影片一直有人轉
推 mitsuhah    : 為什麼x/(1+x)^2 是那樣阿
→ Ricestone   : 樓上說的是哪裡？如果直接拿你說的東西冪級數展開
→ Ricestone   : 是變1/(1+x)=1-x+x^2-x^3... 左右兩邊微分
→ Ricestone   : 變-1/(1+x)^2 = -1+2x-3x^2-4x^3... 兩邊同乘-x
→ Ricestone   : 變x/(1+x)^2 = x-2x^2+3x^3...
→ wohtp       : 既然你要用cutoff去看，就應該知道你丟了一個發散到
→ wohtp       : 無限大的東西才會有-1/12
→ wohtp       : 在很多情況下，cutoff有真實物理意義，然後陶哲瑄證
→ wohtp       : 明的是不管用哪個smooth cutoff去減掉無限大結果都
→ wohtp       : 一樣。
→ wohtp       : 但是每一本量子場論都會告訴你，物理學家在寫下左邊
→ wohtp       : 那個級數的時候，其實一定有個implicit的cutoff。
→ wohtp       : 也就是說，我們想算的剛好是陶哲瑄的東西，但是在定
→ wohtp       : 義上本來就不是那個發散無窮級數