推 wayne2011 : 不用代tan(pi/8)=(sqrt2)-1嗎?看書也只能寫出"垂心" 12/15 20:56
→ Ricestone : Hayashi好像比Klamkin早？不過我都沒聽過就是了... 12/16 08:44
→ Ricestone : 雖然感覺是該有這樣的不等式 12/16 08:44
※ 引述《richard7777 (plokmijn)》之銘言：
: 有一個三角形ABC
: 點P在三角形內部
: 已知AP=BC
: 試證明： BP/AC 或 CP/AB 兩個至少有一個要大於 根號2-1
: 想三個星期了，還是沒有頭緒，請各位大大幫忙一下
由Hayashi 不等式(*) 有
PA*PB PB*PC PC*PA
----- + ----- + ----- ≧ 1
BC*CA CA*AB AB*BC
本題為取 PA=BC
PB PB*PC PC PC PB
故 -- + ----- + -- = (-- + 1)(-- +1) - 1 ≧ 1
CA CA*AB AB AB CA
PC PB PC PB
∴ (-- + 1)(-- +1) ≧ 2 可得 -- 或 -- 至少有一者 ≧√2 - 1
AB CA AB CA
(*) 可由 Klamkin 不等式
(x+y+z)(x(PA)^2+y(PB)^2+z(PC)^2) ≧ (yz(BC)^2+zx(CA)^2+xy(AB)^2)
(x,y,z為實數)
取 x = BC*PB*PC y = CA*PC*PA z = AB*PA*PB 得到
其中 Hayashi不等式成立在垂心或是三頂點之上
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※ 編輯: FAlin (122.121.182.85), 12/15/2018 20:37:18