Re: [中學] 有關解析幾何

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《hau (小豪)》之銘言
: 如圖：
: https://imgur.com/a/WsGp1Gb
: ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1544967960.A.113.html

不會寫orz


而且我懷疑條件不夠
所以我要證明這種 L 有無限多條

給定任意直線 L
假設 L 交於 P, Q 在拋物線左半邊
L 交於 R, S 在圓下半部
且由高至低為 P, Q, R, S

P, Q, R, S 滿足 PQ, QR, RS 為等差
若且唯若 PS 是 QR 的 3 倍
因此以下會考慮其比例 r = QR/PS

拋物線和圓在左側有一條公切線 L0, 此時 r = 1
將切點 P=Q 在拋物線上往下滑動 維持拋物線切點但不維持圓切點
則 R, S 會分裂 當 r 降到 1/3 時 稱此直線為 La
回到 L0 將切點 R=S 在圓上往上滑動 維持圓切點但不維持拋物線切點
則 P, Q 會分裂 當 r 降到 1/3 時 稱此直線為 Lb

因此只要直線斜率介於 La 和 Lb 之間
用以上方法可找到一條 L1 和一個相切 且和另一個相交
並且 r > 1/3 , 原點在 L1 上方

現在將 L1 往上平移 移到通過原點時顯然 r = 0
由於兩圖皆開口朝上 往上平移的過程 r 為連續遞減
因此必有一條 L2 滿足 r = 1/3
這條 L2 上的 P, Q, R, S 符合 PQ, QR, RS 為等差

L2 的直線斜率為 La 和 Lb 之間任選
因此符合條件的 L 有無限多條


以上只考慮一個特定 case
其他情況用類似的想法 可以找到更多條吧ow o

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1545056090.A.FF2.html
→ Desperato   : 任意直線有兩個自由變數
→ Desperato   : 原本我打算把4點x座標的四次式列出來
→ Desperato   : 利用根與係數的關係硬解直線上的兩變數
→ Desperato   : 結果發現 4 個根彼此的關係式只有一條
→ Desperato   : 原本以為等差數列會給出兩關係式 結果就卡住了
推 AZsorcerer  : 我懷疑題目是想問鉛直線然後漏給
→ Ricestone   : 用了Geogebra畫一畫還是想不出來
推 AZsorcerer  : 啊不對 鉛直線不可能
→ Ricestone   : 對了，那個3倍那裡應該不是若且唯若吧？
→ Ricestone   : https://imgur.com/FnGp3HZ 我拉的差不多是這樣
→ Desperato   : 考慮外面兩點距離是中間兩點距離的3倍 是
→ Desperato   : 任意兩點那當然是錯的
→ Desperato   : R大那個方向開口上下顛倒 確實有可能一解
→ Desperato   : 是說若且惟若的部分不很直覺 我也搞了半天XD
→ Ricestone   : 哦對，我想錯了
→ Desperato   : 設 L 交拋物線於 A1 A2 交圓於 B1 B2
→ Desperato   : 則 AABB 共 6 種排列 這題最大的 bug 莫過於這個了
→ Desperato   : 而且沒一個好做 最好做的 ABBA 和 BAAB 就已經足夠
→ Desperato   : 醜了
推 hau         : 請問D大，為何L_1往上平移的過程r為連續遞減？
→ hau         : 您有提到「由於兩圖形皆開口朝上」這是？
推 hau         : 「若且唯若」那邊也要想辦法證明
→ Desperato   : 若且唯若很簡單 a, b, c 成等差 iff a+b+c=3b
→ Desperato   : 整個拋物線和下半圓皆開口朝上
→ Desperato   : r連續遞減 呃 其實我是看圖認定QR遞減和PS遞增 所
→ Desperato   : 以沒證明
→ Desperato   : 不過其實只要是連續的就夠了不需要遞減XD 所以懶的
→ Desperato   : 補證明
→ Desperato   : 就算只有連續 想要從大於1/3的地方畫到0 就是得要
→ Desperato   : 通過1/3