[微積] 關於交錯級數審斂的問題

[ac01965159 (leeleo)]

因為交錯級數收斂有兩個條件
1.是遞減函數
2.當n趨近∞，則第n項趨近0

找不到有什麼是第2個條件成立，但第1個不成立的，如果在數列首項>0的情況下，那為
什麼還要多出第一個條件限制呢？


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→ Ricestone   : wiki有個反例
→ ac01965159  : 那好像是個反例，但是那個似乎無法轉成Σ(-1)^(n+
→ ac01965159  : 1)*f(n)形式
→ ac01965159  : 我是想說如果轉成上述形式，是否就沒有反例了
→ Ricestone   : 偶數項1/n，奇數項1/2^n
→ Ricestone   : 基本上因為算Σ比較麻煩，所以反例通常都分兩項
→ LPH66       : 簡單說就是上下振動但還是趨近 0
→ LPH66       : 而振動正好跟正負 1 的週期 2 相等所以無法抵消
→ ac01965159  : 不好意思，你指的反例是這個嗎？https://i.imgur.
→ ac01965159  : com/M6h2wKh.jpg
→ ac01965159  : 剛剛用錯https://i.imgur.com/a4zOPTL.jpg
→ Ricestone   : 兩個都是反例啊
→ ac01965159  : 但是在上面那個反例，他是我列出來的條件一跟條件
→ ac01965159  : 二同時成立
→ ac01965159  : 我疑惑的是有無條件2成立，但條件1不成立的例子
→ Ricestone   : 沒有啦，要是兩個都成立，就會收斂了
→ Ricestone   : 我說的這兩個都是條件1不成立，條件2成立的例子
→ ac01965159  : 感謝大大解惑
→ ac01965159  : 但是我貼的那個例子中，算出來好像就是兩個條件成
→ ac01965159  : 立，但是還是發散的
→ ac01965159  : 遇到這種情況該如何判斷比較好呢？
→ ac01965159  : 計算的過程https://i.imgur.com/6akUo6X.jpg
→ Ricestone   : 你這樣是級數重排，自己多加了括號哦
→ Ricestone   : 實際上你要看的是1/(√n-1)跟1/(√(n+1)+-1)
→ Ricestone   : 甚至應該說，你寫成那樣，跟交錯級數審斂已經無關了
→ Ricestone   : 呃，上兩行n跟n+1應該寫反了
推 Desperato   : 新的這張根本沒有交錯吧XD
→ ac01965159  : 終於看懂了，謝謝
→ ac01965159  : 不好意思，還想問一下，如果要計算一個交錯級數的
→ ac01965159  : 收斂半徑，是不是應該以交錯級數的條件去計算，因
→ ac01965159  : 為我看書上計算時，都是直接把Σ(-1)^(n+1)*f(n)當
→ ac01965159  : 成Σf(n)去計算收斂半徑，但是這麼做不是可能會讓
→ ac01965159  : 收斂半徑更小的嗎？
→ Ricestone   : 該不會是看到絕對收斂的東西吧？
→ ac01965159  : 好像沒有提到絕對收斂，他的題目就只有   求Σ(-1
→ ac01965159  : )^n *f(n)的收斂區間。
→ Ricestone   : 那我就不知道了，我怎麼想都覺得……先別說更小了
→ Ricestone   : 算Σf(n)的半徑也太麻煩了吧
→ ac01965159  : 抱歉說錯，他是說算Σf(x)的收斂半徑
→ ac01965159  : 比如說算Σ(-1)^n * (x-2)/4^n的收斂區間
→ Ricestone   : 你是問這個審斂法審出來可能不是最大半徑吧？
→ Ricestone   : 的確可能不是，因為它不是iff的
→ Ricestone   : 沒記錯的話，我以前好像也有一樣的疑惑，不過我好像
→ Ricestone   : 最後沒去理它...真糟糕
→ ac01965159  : 是的
→ ac01965159  : 因為我用Σ(-1)^(n+1)/n^x去算好像答案真的會不一
→ ac01965159  : 樣
推 Desperato   : 可以把正負丟掉 是因為用了root or ratio test吧
→ Desperato   : 這兩個 test本來就會加絕對值
→ Ricestone   : 不是加絕對值，而是正項級數才能用吧？這情況下就變
→ Ricestone   : 看是否絕對收斂，不過不管怎麼說應該都不是iff的
推 Vulpix      : 一般書上算收斂半徑的公式只差一點點就是對的。
→ Vulpix      : 對各種簡單情況(不能缺項)來說，都是對的。
→ Ricestone   : 我自己到後來是覺得反正應用上重點是能找到一個半徑
→ Ricestone   : 出來，就沒那麼在意了
→ ac01965159  : 還是覺得應該用更嚴謹的方式比較好@@
→ Ricestone   : 不是啦，我是指其他用到半徑的狀況，這種題目我不太
→ Ricestone   : 喜歡，原因跟你是一樣的
→ Vulpix      : 跟中心的距離超過收斂半徑就一定會發散，所以不是
→ Vulpix      : 已經推到「最大」的地方了嗎？
→ Ricestone   : 也對，不過我那時候好像是亂在書上定義不太清楚
→ Ricestone   : 雖然說是半徑，可是比較該說是區間
→ Ricestone   : 雖然用中心來看就是半徑...
→ Ricestone   : 大概是我自己還有一些題目會把區間跟半徑搞混吧
推 Desperato   : 收斂半徑只有power series 有這種東西吧...一般的
→ Desperato   : sum f(n)是不會有的
→ Desperato   : 可是討論power series的時候 root和ratio test 基
→ Desperato   : 本就是一切 除了邊界點
→ Desperato   : root test 和 ratio test 是加絕對值沒錯喔 只要算
→ Desperato   : 出來不是1 其實正負是無所謂的
→ Desperato   : 算出來是1的話 反正也一定要用別招XD
→ Desperato   : 小於1是絕對收斂 大於1因為單項不收斂到0所以肯定
→ Desperato   : 發散 兩個情況都和正負無關
→ Ricestone   : 嗯，V大講那時我也有瞭解到找半徑時其實是一樣的
→ Desperato   : 個人覺得alternating沒有 iff 不過只是因為從來沒
→ Desperato   : 聽過而已(誒
→ Desperato   : alternating其實是蠻特殊的情況就是了