請教關於數列求合的解題觀念

[ac01965159 (leeleo)]

以下是我看書上的做法，計算過程我了解，但是我不了解的是，為何該這麼做，好像很
難想到說為什麼一直重複做這個動作後，會讓式子最後成為等比級數。
https://imgur.com/a/hTsdJHh


先感謝各位


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推 Desperato   : 關鍵是差分 聽過嗎ow o
→ ac01965159  : 沒聽過QQ,先去查查看
→ ac01965159  : 不好意思，能否請大大解釋一下與差分的關係呢？
推 Desperato   : 設x^n的係數為f(n) 則乘以x視為把x^n的係數改為f(
→ Desperato   : n-1) 減下去就是差分了
→ Desperato   : 當然這樣做的話 前幾項會出bug 所以要分開來看
→ Desperato   : 差分有很多跟微分相似的地方 這邊用到的是 多項式
→ Desperato   : 除了常數之外 差分下去次數必定減1 次數減到0就會
→ Desperato   : 變常數 拿常數當係數的冪級數就是等比級數
→ ac01965159  : 關於差分後次數必定減一的的問題，因為我那個式子
→ ac01965159  : 原本是n^3，變到第三行之後，可以看到係數變成n^3
→ ac01965159  : -(n-1)^3，此式似乎仍是3次式，是我哪裡理解錯了嗎
→ ac01965159  : ？
推 Desperato   : 這是2次式啊XD
→ ac01965159  : 對哦 忘記了，感謝
推 Vulpix      : 用冪級數函數微分也能做。先把n^3拆成(n+1)n(n-1)+n
→ Vulpix      : 就差不多了。
→ ac01965159  : 感謝提供一個很好的方法