Re: [微積] 問一題極限問題

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《ac01965159 (leeleo)》之銘言：
: https://i.imgur.com/hAq1O78.jpg
: 試過了很多方法還是解不出來...
: 先謝謝各位。
:


很久沒解了 不知道有沒有更好的作法


y = ln(x+sqrt(x^2+1))

--> x = (1/2)(e^y - e^(-y)) = sinh(y)


               1            1
lim  [ ----------------- - --- ]
x->0   ln(x+sqrt(x^2+1))    x

          1       1
= lim  [ --- - ------- ]
  y->0    y    sinh(y)

         sinh(y) - y
= lim  [ ----------- ]
  y->0    y sinh(y)

L           cosh(y) - 1
= lim  [ ----------------- ]
  y->0   sinh(y)+ycosh(y)

L            sinh(y)
= lim  [ ----------------- ] = 0
  y->0   2cosh(y)+ysinh(y)


        1       1
lim  [ --- - ------- ]
x->0    x    ln(x+1)

         ln(x+1) - x
= lim  [ ----------- ]
  x->0    x ln(x+1)

L          1/(x+1) - 1
= lim  [ ---------------- ]
  x->0   ln(x+1)+x/(x+1)

               - x
= lim  [ ---------------- ]
  x->0   (x+1)ln(x+1) + x

L            - 1          -1
= lim  [ ----------- ] = ----
  x->0   ln(x+1) + 2       2



因此答案是 -1/2 ow o


會想到 1/x 是因為本來就知道 lim_{x->0} ln(x+1)/x = 1

然後 sinh(x) 和 ln(x+1) 放一起實在太難算


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嗯嗯ow o

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推 ac01965159  : 首先先謝謝大大
→ ac01965159  : 課本的做法似乎是將式子轉成泰勒展開式
→ ac01965159  : https://i.imgur.com/DTF72Sd.jpg
→ ac01965159  : 但是第一項實在不清楚為什麼可以展開成那樣
→ Vulpix      : 一階一階微分算下去，你就知道了。
推 ac01965159  : 微分之後算出來了
→ ac01965159  : 剛剛是卡在arcsinh(x)微分後式子太雜亂
→ ac01965159  : 謝謝