Re: [微積] 多變數極限的問題

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《ac01965159 (leeleo)》之銘言：
: https://i.imgur.com/DxuyyTl.jpg
: 關於最後等於0那邊，如果m趨近正負無限，則最後結果應該不會為0才對嗎？
: 比如說從y軸靠近(0,0)那點的話。
: 謝謝各位
:


R 大想表示的東西，光靠推文有點不太容易說明，所以回了一篇


這題的答案是對的，但作法是錯的

在這題沒問題只是剛好沒出毛病，其他題會掛掉



A. 反例

                   x^2 y
ex: f(x, y) | =  ---------  , (x, y) != (0, 0)
            |    x^4 + y^2
            |
            | =  0          , (x, y)  = (0, 0)

    請問 f(x, y) 在 (0, 0) 連不連續呢？


sol: 先用原本那題的做法 設 y = mx

       x^2 y         m x^3          m x
     --------- = ------------- = ---------
     x^4 + y^2   x^4 + m^2 x^2   x^2 + m^2

                              m x
因此  lim f(x,y)   =  lim  --------- = 0
     (x,y)->(0,0)    x-> 0 x^2 + m^2
        y = mx


如果擔心 m 不是有限的情況，那就是鉛直線 x = 0 吧，ok 的

                               0
      lim f(x,y)   =  lim  --------- = 0
     (x,y)->(0,0)    y-> 0  0 + y^2
        x = 0


但是很可惜，這題答案是不連續。

原因是有反例，設 y = x^2

                              x^4       1
      lim f(x,y)   =  lim  --------- = --- != 0
     (x,y)->(0,0)    x-> 0 x^4 + x^4    2
        y = x^2



這個情況跟前面的 y = mx 和 x = 0 不一樣的是

它沿著 y = x^2 的圖形進入 (0, 0)，這條線是曲線不是直線



B. 一般解法


好，接下來問題來了，回到原題，答案是連續的

也就是說，不管你試 y = x^2 或 y = x^3 或是 y = sin x

或是其他亂七八糟的曲線，只要回到原點，通通會得到極限為 0


那要怎麼樣才能保證，無論走哪一條曲線，極限都會是 0 呢？


這就要思考，有沒有一個簡單方便好算的特性

能讓我們看出一個點有沒有走到原點，無論是走哪條路徑


幸運的是，有的，就是距離

沒錯，不管走哪條路徑，到原點的距離一定會縮減至 0 的嘛

也就是 (x, y) -> (0, 0) 若且唯若 r -> 0+

這就是一般證明平面上二元函數連續的作法


因此現在要設 x^2 + y^2 = r^2，或者參數式 x = r cos(t), y = r sin(t)


原題的證明就會變成

                      r^2 cos^2(t) r^3 sin^3(t)
 lim f(x,y)  =  lim  ----------------------------
(x,y)->(0,0)   r->0+ 2r^2 cos^2(t) + r^2 sin^2(t)

                          cos^2(t) sin^3(t)
             =  lim  r^3  -----------------
               r->0+        cos^2(t) + 1


右邊那項，分母 >= 1，分子絕對值不超過 1，因此是有限值

可以用 r^3 夾擠輕易得到極限為 0



上面那題不連續的證明則是變成

                        r^2 cos^2(t) r sin(t)
 lim f(x,y)  =  lim  ---------------------------
(x,y)->(0,0)   r->0+ r^4 cos^4(t) + r^2 sin^2(t)

                       r cos^2(t) sin(t)
             =  lim  -----------------------
               r->0+ r^2 cos^4(t) + sin^2(t)


注意參數式的情況 t 會是任意值
但不代表 t 是定值，定值是直線的情況
t 可以是 r 的連續函數，造成情況複雜化

就像這題變的超難，反而不知道怎麼算了XD
要是看的出可以令 r cos^2(t) = sin(t)，還不如一開始上 y = x^2

嘛不過，姑且還是看的出端倪的

                           cos^2(t) sin(t)
             =  lim  r  -----------------------
               r->0+    r^2 cos^4(t) + sin^2(t)

                               cos^2(t)
後面那項 r 代 0 的時候，會跑出 --------
                                sin(t)

當分母 sin(t) 變成 0 的時候，剛好可以跟前面的一個 r 抵銷

最晚到這裡的時候，就要開始思考其實根本不連續吧XD



C. 延伸說明


上面的 x^2 + y^2 = r^2 有點類似收費圈或者包圍網

想要走到 (0, 0) 就必須經過這個圈


反過來說，雖然走到這個圈，不見得會碰到 (0, 0)

但如果多設幾個圈 r = 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...

並規定所有圈圈都要經過的話，那肯定就會被強迫走到 (0, 0) 了

姑且把這個叫做連續收費圈好了(好可怕)


很明顯，連續圈的設置不是唯一的

可以設的更為鬆散，例如 r = 1, 0.1, 0.01, 0.001, ...

(其實只要 r -> 0+ 一路上都有，我們不會太在意怎麼設置連續圈
但一定有無限個，否則最裡面那個小圈會有腹地，就能閃過原點)

或甚至可以改變形狀，只要不要太過惡搞應該都沒問題的



以原題來說，由於分母的關係

設 2x^2 + y^2 = b^2 也就是橢圓圈圈，可能會好算一些

這時候 x = (b/√2) cos(t), y = b sin(t)

                     (b^2/2) cos^2(t) b^3 sin^3(t)
 lim f(x,y)  =  lim  -----------------------------
(x,y)->(0,0)   b->0+  b^2 cos^2(t) + b^2 sin^2(t)

                     b^3
             =  lim  --- cos^2(t) sin^3(t)
               b->0+  2


顯然右側絕對值不超過 1，因此由夾擠定理可得極限為 0


p.s. 連續圈的思考模式

基本就是高微(分析)的玩法了

有興趣的話可以去修高等微積分或分析導論XD



D. 結論


相關種類的題目，根據答案不同而有不同的證明方法


若答案是連續的，那必須要採取上述使用距離 r 的作法，才叫嚴謹證明

若答案是不連續，上列做法反而是給自己找碴
                找到反例就足夠了，雖然反例不見得是直線


因此，提前猜測答案是否連續，就變得很重要

這個通常要依賴經驗
或是試誤法(隨便猜一個，算到一半變的很難算就換一個XD)


姑且分子分母的次數是有差的

可以看到，原題可以提出 r^3 ，另一半是全 t，因此輕輕鬆鬆得到答案
(事實上再少兩個 r 還是會歸 0)

反例則是通通混在一起，弄的超級難算

不過最後還是回到經驗啦，多做幾次就知道了




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嗯嗯ow o

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推 Ricestone   : Nice
推 keroro321   : 此題注意到(x,y)=\=0時 x^2/(2x^2+y^2)<1就好證了
→ Desperato   : 這個不錯ow o
推 ac01965159  : 謝謝大大詳細的解說@@
→ ac01965159  : 我想問一下，為什麼需要有用橢圓當作類似收費圈的
→ ac01965159  : 情況，照理說以圓形當作收費圈不是最簡單的嗎？
→ Ricestone   : 因為這題分母多了一個2，看起來麻煩
→ Ricestone   : 基本上，原本證法是你在別的書上看到的ε-δ
→ Ricestone   : 變成極座標反而算是引申
→ Ricestone   : 不過也可以考慮到1/(2x^2+y^2)<1/(x^2+y^2)，夾它
→ Ricestone   : 本質上跟二樓一樣就是了
→ Desperato   : 圓形收費圈是最簡單的沒錯 其他情況通常只是變好看
→ Desperato   : 一點 或是數學系才需要考慮的噁心情況
→ Desperato   : 單就考試上 圓形圈圈 = 極座標 就能打天下了 只要
→ Desperato   : 三角的極值能處理就無往不利
→ Desperato   : 這篇是要強調 如果要證明連續 也就是「所有路徑全
→ Desperato   : 對」的話 光靠一點舉例是不夠的 所有曲線根本就舉
→ Desperato   : 例不完 只能依賴(2)極座標這種通殺型證明 / 反之如
→ Desperato   : 果是證明不連續 一個反例就結束了 反例大多就是書
→ Desperato   : 上提的(1)(3)做法
推 ac01965159  : 看懂了 謝謝
→ ac01965159  : 所以若用y=mx去判斷一個極限式，只能確定它是不存
→ ac01965159  : 在，無法確定它的值，這句話是對的嗎？
→ Desperato   : 當然 2F 的做法很快 把 x 直接夾擠掉剩 y 就秒了
→ ac01965159  : 剛剛沒看到大大又有新的推文@@抱歉，回答到我的問
→ ac01965159  : 題了
→ Desperato   : 嗯 用 y=mx 的話 錯了就錯了 但對了並不保證什麼
→ Desperato   : 寫選擇題是可以猜 可是如果是證明題考連續 那只能
→ Desperato   : 全寫 不然就證明瑕疵了
推 ac01965159  : 嗯嗯，謝謝
推 ac01965159  : https://i.imgur.com/OoScT3m.jpg
→ ac01965159  : 不好意思，想問一下如果遇到不能用圈圈的解法求值
→ ac01965159  : 的時候該怎麼辦呢？
→ ac01965159  : 最後無法證明結果必為0
→ Ricestone   : y=-x會炸掉，所以沒有東西啊
→ Ricestone   : 發現Google多了搜尋方程式會出現3D圖...
推 ac01965159  : 這本書的解答是給0
→ ac01965159  : 好吧，可能是解答錯了，謝謝
→ ac01965159  : 我手機版好像沒有3D圖 @@
→ Ricestone   : 我用電腦打(x^2+y^2)/(x+y) 就會有個圖在轉
→ Ricestone   : 加上=0變方程式反而沒有啊...
推 ac01965159  : 開電腦來看真的就有了耶
→ ac01965159  : cool