作者suker (..)
看板Math
標題Re: [微積] 一題積分
時間Wed Jan 2 10:51:47 2019
※ 引述《LaAc (深淵戰士)》之銘言：
: 不知道出自哪裡的題目……
: http://i.imgur.com/WcfRT89.jpg
: 乍看之下很簡單，我用半角公式化簡
: http://i.imgur.com/341WEvr.jpg
: 然後就不行了。
: 上網查發現這好像是不能積分的式子
: 請問有什麼辦法可以避開嗎？
令x=π-t
π xsinx
∫ ---------dx
0 1+cos^2x
π (π-t)sin(π-t)
=∫ ----------------- dt
0 1+cos^2(π-t)
原本π到0 -dt
把負號變成0到π
π πsint π tsint
=∫ ------------- dt -∫ ------------- dt
0 1+cos^2 t 0 1+cos^2 t
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
＝原式
我省略很多
π xsinx 1 π πsint
移項得到∫ ---------dx = --- ∫ ------------- dt
0 1+cos^2x 2 0 1+cos^2 t
π π -1
= --- ∫ ----------- d(cost)
2 0 1+cos^2 t
π -1 π
= - ---[tan (cost)] |
2 0
2
π
= -----
4
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※ 編輯: suker (36.226.233.64), 01/02/2019 10:57:00
推 LaAc : 謝謝！ 01/02 11:02
推 LaAc : 那請問如果是不定積分可以這樣解嗎？ 01/02 11:06
→ Vulpix : 這個不定積分……no closed form. 01/02 11:16
推 LaAc : 那請問應該怎麼嚴謹的表示t=x呢？這樣直接移項過去 01/02 11:35
→ LaAc : 好像怪怪的 01/02 11:35
推 Desperato : dummy index 可以隨便寫 01/02 11:54
→ Desperato : 具體來說就是 int x dx 和 int t dt 沒兩樣 01/02 11:56
推 a016258 : int(0..π) xf(sinx)dx = πint(0..π/2) f(sinx)dx 01/02 12:15
