[中學] 兩題問題（極值、代數）請教

[nokol (騷人墨客)]

http://i.imgur.com/ZTHpy8E.jpg
不知如何下手
想請教站上大師指點
感謝您，謝謝您，謝謝

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推 sk90040     : 第一題最先想到的是令x=sin u
→ sk90040     : 第二題是想到用微分
→ sk90040     : 恕小弟眼高手低    沒有自己動手算
→ sk90040     : 但希望這兩個想法有幫到你
推 Desperato   : 2. 2x = sin(y) = 2sin(z) > 0, 0 < y, z < pi
→ Desperato   : then sin(z+y) = 1, z+y = pi/2
→ Desperato   : hence 2sin(z) = sin(y) = cos(z), solve sin(z)
→ Desperato   : = x
→ nokol       : 高二目前還沒學到微積分，這兩題是否還有其他非微積
→ nokol       : 解法，再次感謝
推 oblivion87  : 第一題就像s大說的一樣呀
→ oblivion87  : 令x=sinu,會整理成根號3sinu-cosu
→ oblivion87  : 再用和角公式應該就可以了
推 oblivion87  : 這樣不需要用微積分的
推 oblivion87  : √3sinu-cosu=-2sin((pi/6)-x)
→ oblivion87  : 所以極小值為-2
推 oblivion87  : 更正打錯字：上面算式是u，沒有x，
推 Starvilo    : https://i.imgur.com/3mjVnaW.jpg
推 asrh81      : 第一題直接用柯西可得. 第二題用柯西再用算幾, 得到
→ asrh81      : 原式平方<=1 由不等式成立的條件可得
→ asrh81      : 第一題看錯了是減號不是加號
→ asrh81      : 用柯西求的應是極大值, 沒仔細算
推 asrh81      : 重算了一下, 第一題可以用柯西不等式
→ asrh81      : (x^2+(1-x^2))(3+(-1)^2)>=y^2 => 2>=y>=-2
→ asrh81      : 第二題 原式^2 <=(x^2+4x^2)((1-4x^2)+(1-x^2))=
→ asrh81      : 5x^2(2-5x^2)<=1, 故等號條件必須成立
→ asrh81      : 如果題目換成求 根號3*根號z-根號(1-z) 的極小值,
→ asrh81      : 用三角函數的方法, 就要多費一步令 z=x^2 了
推 Vulpix      : 兩題都是三角代換簡單做完啊。
→ Vulpix      : 第二題x=cosα,2x=cosβ，角範圍先取好：[0,π]。
→ Vulpix      : sin(α+β)=1，範圍內只有α+β=π/2，且都是銳角。
→ Vulpix      : 所以2x=sinα，跟x=cosα平方相加得5x^2=1，取正根.
推 asrh81      : 如果這題題目改成用 y=x^2 代入, 變成
→ asrh81      : 根號y*根號(1-4y)+2*根號y*根號(1-y)=1 要求y
→ asrh81      : 用柯西不等式作法完全一樣, 三角代換就要多些步驟
推 Vulpix      : 沒有啊，y=(cosα)^2,4y=(cosβ)^2，步驟一樣。
→ Vulpix      : 重點是要看到兩組平方和=1的數字，那跟Cauchy ineq.
→ Vulpix      : 要用到的一樣。你Cauchy明明可以一次到位：
→ Vulpix      : 原式^2 ≦ (x^2 + (1-x^2) )( (1-4x^2) + 4x^2 ) =1
→ Vulpix      : 兩次不等號，還得驗證可以同時相等，也太辛苦。
推 asrh81      : 嗯 對 柯西可以一步沒想仔細. anyway我的意思就是說
→ asrh81      : 如果裡面不是平方, 柯西不等式作法一樣, 但三角函數
→ asrh81      : 就沒有那麼直觀而且要多出步驟, 就說一個個人的觀察
→ asrh81      : 到的想法而已, 你前面也沒推文我不可能是針對你的推
→ asrh81      : 文, 原推文者沒有生氣我不知道你在生氣什麼? :)
推 Desperato   : 柯西不直觀 我覺得三角比較簡單qw q
→ Desperato   : 不過一般高中生只能想到柯西沒錯
→ Desperato   : 把 x 和 2x 都換成三角一般不會有人這樣換吧
→ Desperato   : 噢 還有暴力平方 反正最多4次不打緊(欸
推 Vulpix      : 因為剛剛看了很令人髮指的舊聞，心情沒平復吧。
→ Vulpix      : 看到三角代換步驟多這種胡話就……噴了。因為我心裡
→ Vulpix      : 想到的那個換法，步驟就是這麼少……
推 asrh81      : 我明白了,有人自尊心受損,氣自己為什麼沒想到用柯西
→ asrh81      : 如果根號裡面是 2-y 他大概也要堅持用y=2(cosx)^2代
→ asrh81      : 進去
推 Desperato   : 那其實是可行的技巧XD 不要太難過 微積分寫太多的
→ Desperato   : 人容易想到三角代換是事實
推 alan23273850: 第2題讓我想到橢圓參數式，說不定2元2次更方便
推 asrh81      : 三角代換的方法也不是他提出來的啊,完全沒有人提到
→ asrh81      : 他,莫名其妙玻璃心碎滿地跳進來,自己愚蠢把別人當出
→ asrh81      : 氣筒
推 Vulpix      : 這麼生氣啊……
→ Vulpix      : 話說我是看到了御殿場事件。
→ Vulpix      : 三角代換好用才用的啊，其實證明柯西不等式的其中一
→ Vulpix      : 個典型作法不就是三角代換嗎？
推 Vulpix      : 推文帶刺是我不好啦，上次這麼酸大概是對yee……
→ Vulpix      : 但我不能接受嫌棄其他好用的方法這種心態，這才是
→ Vulpix      : 正港的玻璃心。感謝D大不斷潤滑。
推 asrh81      : 我明白了,他可能是連三角代換都沒想到. 哈
→ asrh81      : 他不解釋別人還不曉得他在氣什麼. 越講越露饀 XD
→ asrh81      : 連三角代換都沒想到的確是會對他的自尊形成重大打擊
→ asrh81      : :)
→ asrh81      : 大概就是用生氣來掩飾,所以大聲替三角代換法辯護 XD
→ asrh81      : 前面討論三角代換的人好幾個,不知道他氣的是誰? :)
推 Starvilo    : 最快就是D大 Tanz =1/2 ,x=sinz=1/5^0.5
推 asrh81      : 樓上你的暴力法其實我覺得也很有啟發性
→ asrh81      : 反正能自己做出來的都不錯,總比把別人的做法當成自
→ asrh81      : 己想到的,以為大聲就能唬人的小人要好得多
→ asrh81      : 我就覺得奇怪他為什麼要重述別人的做法,然後把 sin
→ asrh81      : 換成 cos, 現在想想真是欲蓋彌彰 XD
推 Vulpix      : 因為我只看了題目+最新推文啊。
→ Vulpix      : 你現在說了我才發現是重複的作法。純粹是看到題目
→ Vulpix      : 有趣才寫的。然後，對話就對話，第三人稱這種閃躲法
→ Vulpix      : 是不夠成熟的人才在用。
推 asrh81      : 和抄襲論文被抓到的人狡辯:我真的不知道他也是這樣
→ asrh81      : 做 那種嘴臉如出一轍. 不過就是一題高中數學題,也要
→ asrh81      : 假裝氣憤難平,趁機把別人的點子據為己有,人性如此,
→ asrh81      : 一嘆
→ Vulpix      : 人性，真的很可怕。學到了。
推 asrh81      : 沒關係,大家都知道你說沒看推文是謊話,我會時常回來
→ asrh81      : 數學板提醒板友這件事情.
推 asrh81      : 看起來是因為D大是板上標竿,他不想輸又覺得沒想到D
→ asrh81      : 大的作法很丟臉,正好我出現,所以就做了這種事? 不知
→ asrh81      : 抄襲就是抄襲,不必去管心裡想什麼.