Re: [機統] 一個骰子相關的問題

[StellaNe (凍結的大地)]

※ 引述《yyhsiu (hsiu)》之銘言：
: 大家好，以下是個擲骰子相關的問題。覺得有點難，想不出好辦法想請問大家
: 擲(6面公平)骰子過程：不斷的丟，直到出現6就停止。
: 問：在已知整個數列是遞增(可以等於)的情況下，數列的長度的期望值是多少？
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: 我很暴力 (加上程式模擬驗證) 的求出答案了，但感覺有比較漂亮的想法
: 謝謝大家！

設數列長度期望值為x

E(n):=當前一個骰子投出為n，之後繼續完成試驗的數列長度期望值

e.g：E(6)=0，E(1)=x

先擲第一次骰子後，有六種可能

所以期望值為x=1+(1/6)*[E(1)+E(2)+E(3)+E(4)+E(5)+E(6)]


觀察E(5)，當前一個骰子為5時，接下來完成試驗的可能情況為{6},{5,6},{5,5,6}...

若將另一個試驗定義為直到出現2就停止(需遞增)，期望值記為E(1:2)

可能情況為{2},{1,2},{1,1,2}...

可與E(5)情況形成一對一且映成的對應，且發生機率一樣(可視為把骰子的5、6跟1、2對調)

所以E(5)=E(1:2)

E(1:2)+E(2)=x (到2為止+從2開始到6為止)

E(5)+E(2)=x

同理E(4)+E(3)=x

x=1+(1/6)*[E(1)+E(2)+E(3)+E(4)+E(5)+E(6)]=1+(1/6)*3x=1+x/2

x=2

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※ 編輯: StellaNe (61.223.225.123), 01/11/2019 09:20:35
推 ownlai      : 這答案應該不對吧, E(5)+E(2) = X = 2, E(2)必>E(5)
→ ownlai      : 那不就代表E(5) < 1 ? 但擲出5點到6 平均不需1次?
→ ownlai      : 問題應該出在這個式子 =>  E(1:2)+E(2)=x
→ ownlai      : 我算的答案是3.2833333
推 yyhsiu      : 這個一對一對應的想法好棒！
推 yyhsiu      : 但我也對於 E(1:2)+E(2) = x 這個式子覺得困惑
→ yyhsiu      : E(1:2) 應該要是2的，那表示 E(5) = 0?
→ yyhsiu      : 從5到6只要0步可以解釋成有時他會把前面的洗掉
→ yyhsiu      : 但這樣 E(5) 就會依賴於前面的長度分佈了？