Re: [機統] 一個骰子相關的問題

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《yyhsiu (hsiu)》之銘言：
: 大家好，以下是個擲骰子相關的問題。覺得有點難，想不出好辦法想請問大家
: 擲(6面公平)骰子過程：不斷的丟，直到出現6就停止。
: 問：在已知整個數列是遞增(可以等於)的情況下，數列的長度的期望值是多少？
: ------------------------
: 我很暴力 (加上程式模擬驗證) 的求出答案了，但感覺有比較漂亮的想法
: 謝謝大家！

||||_ _ ... _ _ 6

    n-1個空位

前面是隔板，把空位和隔板排列完如果長這樣：

        _ _ ||| _ |6

那點數排列就是

        1 1     4  6

所以空位隔板的排列數和遞增數列之間有一一對應。

可得 P(數列長度=n|數列遞增) = C(n+3,4)/6^n /ΣC(k+3,4)/6^k

其中 ΣC(k+3,4)/6^k = 1/6 / (5/6)^5

所求 = E[數列長度|數列遞增] = ΣnC(n+3,4)/6^n *6*(5/6)^5 = 2


主要用到 (1-x)^{-m} = ΣC(n,m-1)x^{n-m+1}

硬算的，但沒有很不漂亮。


感覺上，這個期望值2不依賴骰子面數這一點比較有趣。

即使是公正硬幣(H=1,T=2)或者正20面骰，數列長度的期望值也都是2。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58
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※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 01/11/2019 12:49:40
推 Desperato   : 推推
推 cutekid     : 期望值不變，會不會是因為擲到比上次小，長度變為 0
→ cutekid     : 給稀釋掉了
→ Vulpix      : 樣本空間只有遞增到最大值的數列，長度=0已經排除了
推 cutekid     : 分母 6^n 裡面隱含著比上次小，長度視為0的味道?
→ Vulpix      : 那是原本的大樣本空間，每一個數列都看到6就停，的
→ Vulpix      : 機率。P(沒6的那些)=0。
→ MOONY135    : 推推
→ MOONY135    : x^{n+m-1} 這行是不是有問題? 應該是{n-m+1}?
→ Vulpix      : 對。
※ 編輯: Vulpix (163.13.251.14), 01/11/2019 17:29:39
推 yyhsiu      : 對！面數不影響這點很有趣，這個很漂亮了，感謝！
推 ERT312      : 按原po的問法:"在已知整個數列是遞增....."
→ ERT312      : 這是條件機率，期望值應該會隨骰子面數增大而變大
→ ERT312      : 上面這種做法，樣本空間的機率小於1
→ Vulpix      : 可是我用 ΣC(k+3,4)/6^k 除過了，已經是條件機率。
m面骰(奇怪的m可以直接用均勻球體，表面積m等分)

P(數列長度=n & 數列遞增到m為止) = C(n+m-3,m-2)/m^n

總和 = P(數列遞增到m為止) = 1/{ m * (1-1/m)^{m-1} }

E[數列長度|數列遞增到m為止] = Σ n*C(n+m-3,m-2)/m^n *m*(1-1/m)^{m-1} = 2


啊，是不是「遞增數列」和「遞增到m的數列」之間的差異？

也有可能有數列一直遞增都上不來？但是這種應該是要排除的，畢竟這種數列都無限長。

兩面骰只有一個這種數列：{1,1,1,1,...}，機率是0。

但是三面骰開始這種數列就變成無限多個了，總機率也是0。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 01/14/2019 09:40:37
推 ERT312      : 哦哦 好像沒錯 原po的程式應該也沒辦法跑出無限數列
推 ERT312      : 現在沒辦法專注在這裡，先推再想...