Re: [線代] 如果只有基底的話

[Desperato (Farewell)]

: 假設有一個集合 V 一個體 F
: 一個加法運算 +: V x V -> V
: 一個係數乘法運算 *: F x V -> V
: V 在這兩個運算底下是封閉的

: 考慮 W 是一個 V 的非空子集合
: 繼承以上兩個運算(但不一定封閉)
: 定義集合 W 有基底
: 代表存在一個有序集 (w_1, ..., w_n)
: 其中 w_i 皆為 W 的元素 滿足兩個條件
: (1) 對任意 F 的元素 c_i, d_i滿足
:    若 sum c_i w_i = sum d_i w_i 則 c_i = d_i
: (2) 所有 W 的元素 w 都能寫成 sum c_i
: 請注意這裡的 sum (暫時) 要照順序加


看來只能我自己來想了qw q
總之先上線性空間的10個條件吧

(A0) V is closed under +
(M0) V is closed under *

(A1) u+(v+w) = (u+v)+w
(A2) u+v = v+w
(A3) exists 0, v+0=v
(A4) for any v, exists -v, v+(-v)=0

(M1) a(bv) = (ab)v
(M2) 1v = v

(D1) a(u+v) = au+av
(D2) (a+b)v = av+bv

以及存在基底
(BS) exists (v_i), for any v, v = sum c_i v_i, uniquely


1. 假設 W 滿足以上全部，除了 (A3)
   則根據 (A0), (M0), 有一個元素 z = sum 0 v_i
   滿足對任意 v = sum c_i v_i 來說
   v + z = sum c_i v_i + sum 0 v_i
         = sum (c_i v_i + 0 v_i)      use (A1), (A2)
         = sum c_i v_i                use (D2)
         = v

   所以 (BS)(A0)(A1)(A2)(M0)(D2) 可以弄出 (A3)

2. (A0)和(M0)姑且好像無法省略
   畢竟可以假設 V 滿足所有條件，但 W 沒有封閉性
   這樣的話就會有其他 8 條全對但不封閉的情況

   不過如果基底的條件改強一點
   (BS') exists (v_i) such that f: F^n  ->     W      is a bijection
                                  (c_i)   sum c_i v_i
         差別是原本 f^(-1) 不一定是 onto

   那麼假設 W 滿足 (BS') 和另外 8 條
   給定 v = sum c_i v_i, v' = sum c'_i v_i
        v + v' is in W    use (A1), (A2), (D2)
        a v    is in W    use (D1), (M1)

   所以 (BS')(A1)(A2)(M1)(D1)(D2) 可以弄出 (A0)(M0)

3. (M2)的情況
   給定 v = sum c_i v_i
   有 1 v = 1 (sum c_i v_i)
          = sum (1 c_i) v_i   use (D1), (M1)
          = sum c_i v_i = v
   所以 1 v = v

4. (A4)的情況
   給定 v = sum c_i v_i, 令 u = sum (-c_i) v_i
   則 v + u = 0     use (A1), (A2), (D2)


OK, 所以到目前為止

只要有 (BS')(A1)(A2)(M1)(D1)(D2) 就能確定 W 是線性空間了

實際上所有條件都是用在 basis 身上的，所以可以改成


(BS-L) exists (v_i) such that
       f:  F_n  ->     W       is a bijection
          (c_i) -> sum c_i v_i
       and f is linear (這個條件居然概括全部...)


(Thm) If W is a set which satisfies (BS-L),
      then W is a vector space

嗯，怎麼感覺有寫跟沒寫一樣啊XDD



結論：雖然一般來說，這個定理是先設 W 是 v.s. 再證明它有 basis
      但其實反過來好像也行呢。嗯，怎樣都好啦www



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嗯嗯ow o

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推 Vulpix      : 因為f is linear實際上要檢查的點很多啊。
→ Vulpix      : 我覺得你需要的就是span而已。
→ asrh81      : 真的是很奇怪,原PO你是欠他錢還是得罪過他?比方在板
→ asrh81      : 上糾正他讓他自尊心受損?為什麼他不但對原PO沒有歉
→ asrh81      : 意,還可以用這種指導性的語氣推文?
→ asrh81      : 原PO你不會真的相信他說的,沒看到推文所以不知道你
→ asrh81      : 的作法這種鬼話吧?
→ asrh81      : 我會自穿他在演戲說謊的原因之一,就是我發現他的敵
→ asrh81      : 意不是針對我,而是針對提出三角代換的人
→ asrh81      : 強烈到連我這個路人都感受得到
→ asrh81      : 一個人要怎樣的心理狀態,才會連高中數學解法都要剽
→ asrh81      : 竊,才會說得出沒看到推文不知道別人作法,然後現在面
→ asrh81      : 對苦主還可以用指導語氣說話?
→ asrh81      : 別人的恩怨我是不知道啦,或許也沒有恩怨只是某人的
→ asrh81      : 人品就是這麼低劣, 但是台灣每年平均有將近20件論文
→ asrh81      : 涉及抄襲的事件. 別人都可以把你不當一回事的時候,
→ asrh81      : 我只能說原PO願上天保佑你.
→ DLHZ        : 樓上？？
推 LPH66       : 論這是推錯文, 但一下找不太到可能是哪篇