推 Vulpix : 他是找到n-1個獨立特徵向量，所以確認dim≧n-1。 01/14 17:04
推 znmkhxrw : 有後面的資訊嗎 試了一下只能確定"至少" 不是剛好 01/14 17:04
→ Vulpix : 最後一個eigenvalue是1+(v^T u)。 01/14 17:08
→ wohtp : 針對原po說的這個命題很容易舉反例。 01/14 17:11
→ wohtp : {{1,1},{1,0}} 的eigenspace只有一維，但1是重根 01/14 17:12
→ LivingLouder: 補上完整資料 01/14 18:21
→ LivingLouder: 我猜想應該是少寫了"至少"。 01/14 18:23
→ LivingLouder: 但是因為後面有幾題類似的題目，他都沒有提到"至少" 01/14 18:23
→ LivingLouder: 這兩個字 01/14 18:23
→ Ricestone : 他的有是has不是is吧大概 01/14 18:26
推 Desperato : 第二張第一行 x和u哪來的同向 01/14 19:26
→ Desperato : 噢 等等 假設 x 是特徵向量...? 01/14 19:27
→ Desperato : 要是沒特徵向量怎麼辦 01/14 19:28
→ Desperato : 噢 後面的證明等於是說有特徵向量 01/14 19:29
→ Desperato : 不是啊這很倒果為因啊... 01/14 19:30
→ Desperato : 應該這樣寫 先代任意x進去 如果希望x是特徵向量的 01/14 19:32
→ Desperato : 話 則必須只能 (v^t x)=0 或 x 平行 u 01/14 19:32
推 Desperato : 然後他沒有證明 v^t u = 0 會發生什麼事情 01/14 19:37
→ Desperato : 這時候特徵值還是 1 和前狀況重複 不保證第 n 個特 01/14 19:38
→ Desperato : 徵值也是 1 01/14 19:38
推 Vulpix : 用後見之明(天生神眼)就好，v┴整個掉在1-eigensp. 01/14 19:46
推 Vulpix : 裡面，還有(i)如果u,v不垂直，u也是eigenvector 01/14 19:49
→ Vulpix : (ii)如果u,v垂直，那1-eigensp.就是全空間。 01/14 19:50
推 Desperato : 嗯 結論來說是這樣沒錯 但你那行要寫啊 01/14 19:50
→ Vulpix : i的情況就要多看一下新的eigenvalue是不是0。 01/14 19:51
→ Desperato : 覺得證明敘述寫的很爛XD 解題想法和證明要分開寫 01/14 19:51
→ Vulpix : 因為所有的eigenvector都好構造，問題才簡單的。 01/14 19:52
→ Vulpix : 一起寫是為了省篇幅吧？這樣印書也可以節省成本。 01/14 19:53
→ Vulpix : 我是覺得看u,v垂直與否很浪費時間XD det=1+(v^T u) 01/14 19:54
推 Desperato : 由於 1 至少有 n-1 個重根 矩陣是實係數 可知第 n 01/14 19:55
→ Desperato : 個特徵值也必須是實數 如果不是 1 的話 就一定有 01/14 19:55
→ Desperato : 個特徵向量 且不在 v^perp 裡面 01/14 19:55
→ Vulpix : 不是-1就full rank，是-1的話就看v┴，rank≧n-1。 01/14 19:55
→ Desperato : 如果仍然是 1 所有特徵值都是 1 01/14 19:57
推 Vulpix : 不過書上應該也不算在寫證明吧。以情報分級來說，還 01/14 19:58
→ Vulpix : 只是情報資料的程度，證明才算情報。 01/14 19:58
→ Desperato : (1) eigenspace 是全部 這時矩陣只能是 I 本身 因 01/14 19:59
→ Desperato : 此 u v^t 是 O 代表要馬 v 要馬 u 是 0 向量 得到 01/14 19:59
→ Desperato : v^t u = 0 01/14 19:59
→ Ricestone : 因為這題只是找c,d，我覺得這樣算夠了 01/14 20:00
→ Ricestone : 他是講找想法的方式 01/14 20:00
→ Desperato : 不對 搞錯了 不是走這個方向 01/14 20:01
→ Desperato : 雖然我是想問 eigenspace 不是全部的情況 畢竟ran 01/14 20:01
→ Desperato : k還是n 01/14 20:01
推 Desperato : 對啦 問題是他沒有保證 v^t u 不是 -1 的話就一定 01/14 20:04
→ Desperato : 是 full rank 01/14 20:04
→ Desperato : 如果 1 + v^t u 不是 1 當然沒問題 01/14 20:05
推 Vulpix : 會有一個Jordan 2-block。 01/14 20:07
→ Desperato : 可是如果 1 + v^t u = 1 的話 這個 1 不見得是第 01/14 20:07
→ Desperato : n 個特徵值 那就存在第 n 個特徵值是 0 且特徵向量 01/14 20:07
→ Desperato : 不是 u 的可能性 01/14 20:07
→ Desperato : 他沒有說明這點 01/14 20:07
→ Vulpix : v^t u 不是 -1 的話，所有的eigenvalue都沒有0，所 01/14 20:08
→ Vulpix : 以det≠0 => full-rank。 01/14 20:08
→ Desperato : 所以應該補上 如果特徵值是 0 那 v^t u 一定是 -1 01/14 20:10
→ Desperato : 且 u 就是特徵值沒錯 的證明 01/14 20:10
推 Desperato : 問題就是那個所有 1+v^t u = 1 不代表所有特徵值都 01/14 20:13
→ Desperato : 是 1 01/14 20:13
→ Desperato : 他只說有個特徵值 1+v^t u 沒說那不是前面 n-1 個 01/14 20:14
→ Desperato : 1 01/14 20:14
→ Desperato : 不然他就要證明 v^t x != 0 一定會給出一個特徵向 01/14 20:15
→ Desperato : 量 x 01/14 20:15
→ Desperato : 也就是存在性的證明一直沒給 01/14 20:15
→ Ricestone : 他有說vtx != 0 -> vtu != 0 所以不會是1 01/14 20:16
推 Vulpix : 是啊。畢竟如果 I+uv^T eigenvalue 全是 1 的話，也 01/14 20:16
→ Ricestone : 用u當特徵向量的特徵值一定不是0，所以沒問題吧 01/14 20:17
→ Vulpix : 還是有 eigenvector n-1 缺 1 的情況。 01/14 20:17
推 Desperato : 這樣寫就沒問題 可是他沒寫... 01/14 20:17
→ Ricestone : 講錯了，是用u當特徵向量的特徵值一定不是1 01/14 20:18
→ Vulpix : 單就這題，其實解題方法用了太大的牛刀，收刀又露一 01/14 20:19
→ Desperato : 而且還是那句話 存在性證明沒給 他假設 v^t x != 01/14 20:19
→ Desperato : 0 中要有個特徵向量 要是沒有不就吃土了XD 01/14 20:19
→ Vulpix : 截在外面，才看起來很奇怪。 01/14 20:19
→ Desperato : 我是覺得他證明寫不清楚 不該跳過的部分直接飛過去 01/14 20:20
→ Desperato : 01/14 20:20
→ Ricestone : 沒有當然吃土啊，這樣算是直接找到答案所以存在 01/14 20:20
→ Vulpix : 跨頁那句吧。對啊，u不一定滿足第一句XD 01/14 20:20
→ Desperato : 前面 n-1 個 1 是直接找到答案沒錯 01/14 20:21
→ Desperato : 但 u 不是, u 可以不滿足 v^t u != 0 01/14 20:21
→ Vulpix : 但原矩陣的eigenvector可能已經找全了，根本沒剩。 01/14 20:22
→ Desperato : 造成 v^t x != 0 根本沒答案的情況 01/14 20:22
→ Vulpix : 也就是說 v┴ 是 eigenspace，u 也是 eigenvector， 01/14 20:23
→ Vulpix : 兩件事都對，卻可能 u 就在 v┴ 裡面，沒有找到新玩 01/14 20:23
→ Desperato : 事實上 x為特徵向量且 v^t x != 0 真的可以沒答案 01/14 20:24
→ Desperato : 就是有個 Jordan block 2 的情況 只是此時的 rank 01/14 20:24
→ Desperato : 是全滿 01/14 20:24
→ Desperato : 對 我剛才在 u 可以不是新玩具那邊卡半天 01/14 20:25
→ Vulpix : 意。 01/14 20:25
→ Desperato : www 01/14 20:26
→ Vulpix : 這種書錯誤都很多啊。有些是寫書的人半桶水，有些是 01/14 20:27
→ Vulpix : 要人親自去補習，所以留一手。(前者還是比較多……) 01/14 20:28
→ Ricestone : 意思是說x跟u同向而且vtx != 0會有vtu = 0的可能？ 01/14 20:31
→ Ricestone : 應該說共線 01/14 20:32
推 Desperato : 不是 是雖然「 x是特徵向量且v^t x != 0」的確可推 01/14 20:33
→ Desperato : 出「此時 u 平行 x 也是特徵向量」 01/14 20:33
→ Desperato : 但前提可以是空集合 01/14 20:33
→ Ricestone : 嗯，我剛剛也想到了 01/14 20:34
→ Desperato : 直接代 u 雖然會知道 u 是特徵向量 但這樣就沒有推 01/14 20:35
→ Desperato : 出 v^t u != 0 01/14 20:35
→ Desperato : 這題沒問到特徵向量空間維度之類的東西 否則就錯了 01/14 20:36
推 Vulpix : 原來作者是交大老師，那……單純寫錯吧。 01/14 20:43
→ Desperato : 我是覺得他想表達的親切一點 但證明就失真了 01/14 20:44
推 Desperato : 好像就是線代啟示錄的作者 雖然我只找到ccjou 01/14 21:00
→ LivingLouder: 這份資料是我從線代啟示錄上面下載的 01/14 21:17
→ LivingLouder: 這題有高手能提供其他解法嗎？謝謝 01/14 21:18
推 keroro321 : 依照u有沒有垂直v分成2種情況討論,有垂直則可知這 01/14 23:14
→ keroro321 : 矩陣rank=n,沒垂直這矩陣可對角化,問題答案都可得到 01/14 23:15