Re: [線代] 關於特徵空間和特徵值

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《LivingLouder (We’re living louder)》之銘言：
: 若已知特徵空間的維度是n，則所對應的特徵值有n個重根。
: 請問以上的敘述是正確的嗎？
: 相關的例子：下圖的紅筆部分(來自周志成的線代解答)
: https://i.imgur.com/IdtSVTi.jpg
: --------------------------------------------
: 在我的理解裡，若是有相同n個的特徵值，則所對應的獨立的特徵向量小於等於n個。

提供一個直觀做法如下：

首先令 u != 0，等於的話 rank(I_n) = n，沒意思

令 A = I + uv^t，題目想要得知 rank(A)多少，相當於A的值域多大，即dim(R(A))

而依據維度定理，rank(A) = n - dim(null(A))

這樣就只要計算 Ax = 0 所形成的x集合的維度就好

(我idea是 Ax=0 比 R(A) 來的有可算性 才從這裡出發)

接著計算 Ax = x + uv^tx = x + <x,v>u ---(●)

而且題目給的hint又是u與v內積的關係

因此接下來我採取的單範正交基底才會故意拿u來做，這樣就有u與v的內積了：

取此組單範正交基底為 B := {u/│u│, e_2, ..., e_n}

然後把 x 由這個基底展開變成 a_1*u/│u│ + ... + a_n*e_n

代入(●)並計算Ax=0，整理好係數，會發現a_2 = ... = a_n = 0

接著把剩餘的u/│u│係數拿出來看，a_1 + a_1<u,v> = 0

最後由基底與係數的isomorphism得知

dim(null(A)) = dim( {(a_1,0,...,0)│a_1 + a_1<u,v> = 0} )

然後就明顯拉，<u,v>為-1時，a_1就毫無限制，所以維度為1

若<u,v>不為-1，a_1就只能是0
------------------------------------------

以上寫樂樂長純粹解釋，反正用u/│u│去展單範正交基底就結束了

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.68.160.241
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1547480050.A.1C3.html
推 Desperato   : 推 這樣很快
推 LivingLouder: 請問計算Ax=0，a_2=...=a_n=0，是怎麼來的
推 LivingLouder: https://i.imgur.com/o1Qcrli.jpg
→ znmkhxrw    : 比如你看e_2，這它的係數只有a_2
→ znmkhxrw    : e_2~e_n他的係數都只有a_2~a_n
→ znmkhxrw    : 只有u/│u│這個向量前面有跟著一卡車係數
→ znmkhxrw    : 所以藉由基底的線性獨立性 如果線性組合=0則係數=0
推 LivingLouder: 謝謝，剛剛忘記這些向量=0