Re: [線代] 關於特徵空間和特徵值

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《LivingLouder (We’re living louder)》之銘言：
: 若已知特徵空間的維度是n，則所對應的特徵值有n個重根。
: 請問以上的敘述是正確的嗎？
: 相關的例子：下圖的紅筆部分(來自周志成的線代解答)
: https://i.imgur.com/IdtSVTi.jpg
: --------------------------------------------
: 在我的理解裡，若是有相同n個的特徵值，則所對應的獨立的特徵向量小於等於n個。


把回文整理一下，以下是詳解


If u, v in R^n, rank(I + u v^T) | = n, if v^T u != c
                                |
                                | = d, if v^T u  = c

Find the pair (c, d).


(pf) 簡單來說，就是丟向量找特徵值

     對任意向量 x in R^n, 丟進去可得

     (I + u v^T) x = x + (v^T x) u

     因此有兩個情況，會使得 x 是特徵向量

     (1) v^T x = 0
     (2) x // u

     注意到這不是 x 為特徵向量的結論，而是符合這兩個情況的話 x 才是特徵向量


     其中第一個情況即 x in v^⊥，維度是 n-1 (1的幾何重數)

     因此特徵值 1 至少是 n-1 重根 (1的代數重數)


     第二個情況的問題是，由於 u 不知道有沒有在 v^⊥ 裡，沒辦法使用

     這導致我們無法簡單找到最後一個維度的特徵向量(事實上也不見得會有)

     但最後一個特徵值是一定有的。

     所以應該加進以下說明：

     最後一個特徵值 t 是實數。

     (pf) 因為 I + u v^T 是實係數矩陣，det(I + u v^T) 也是實數
          但 det 就是所有特徵值相乘，因此最後一個特徵值必須是實數


     根據 t 的值會有不同的 rank

     (a) t != 0, 此時 rank = n

     (b) t  = 0, 此時 rank = n-1

         因為 0 也要有特徵向量
         因此必有一個特徵向量 x 不對應 1，也就是 v^T x != 0

         從這裡開始，就能重覆原證明的過程。
         原證明缺乏 x 存在的證據，若 x 不存在，該證明剩餘全倒
         糟糕的是真的有 x 不存在的矩陣(雖然不影響答案)，所以無法無視問題

         (I + u v^T) x = x + (v^T x) u

         由於 v^T x != 0，因此 x // u，得到 u 也是特徵向量

         (I + u v^T) u = u + (v^T u) u = (1 + v^T u) u

         已規定 t = 0，所以 v^T u = -1


      所以現在，如果 v^T u = -1，可得 (I + u v^T) u = 0
      因此 0 是特徵值，rank(I + u v^T) = n-1

      如果 v^T u != -1，由 (b) 的逆反敘述，可得 t != 0
      因此 det(I + u v^T) 不為 0，rank(I + u v^T) = n

      所以可得 c = -1, d = n-1



原證明大部分該講的都講了

雖然吵了半天，其實就一點證明瑕疵而已

但姑且數學系就最重視這個嘛ow o



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嗯嗯ow o

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推 znmkhxrw    : 我也是看原截圖想說是trivial嗎 怎要顧忌的細節都沒
→ znmkhxrw    : 然後當下看又不顯然 寫了幾行發現真的對
→ znmkhxrw    : 然後猜測是作者認為trvial(?
→ Desperato   : 我覺得存在性不能省 因為學生老是學不會存在性XD
→ LivingLouder: 謝謝，非常清楚
推 LivingLouder: 推