Re: [線代] 關於特徵空間和特徵值

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《LivingLouder (We’re living louder)》之銘言：
: 若已知特徵空間的維度是n，則所對應的特徵值有n個重根。
: 請問以上的敘述是正確的嗎？
: 相關的例子：下圖的紅筆部分(來自周志成的線代解答)
: https://i.imgur.com/IdtSVTi.jpg
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: 在我的理解裡，若是有相同n個的特徵值，則所對應的獨立的特徵向量小於等於n個。

用 v' 表示 v^T

首先注意到 det( I_n + uv' ) = 1 + v'u

所以 v'u≠-1 (=c) 的時候，I_n + uv' 可逆，當然滿秩(rank = n)。

當 v'u = -1，因為不可逆而 rank < n。

考慮 x，其中 v'x = 0，那麼 ( I_n + uv' )x = x。

整個 n-1 維的 v^⊥ 都在 im( I_n + uv' ) 裡面。

rank( I_n + uv' ) = dim(im( I_n + uv' ))≧n-1。

所以 rank 只能是 n-1 (=d)。

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※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 01/15/2019 01:14:45
推 LivingLouder: 請問為什麼det(I_n+uv')=v'u
→ LivingLouder: +1
→ Vulpix      : 把第k行的v_k提出來乘到第k列，k=1~n都做一遍。
→ Vulpix      : 把第2~n行全部加到第1行，提出1+v'u，消去各行多餘
→ Vulpix      : 的u們和v們。行列式現在只有主對角線和第一行是1，
→ Vulpix      : 用第一列消去第一行多餘的1(可不做)，剩下的行列式
→ Vulpix      : =1，剛剛還有提出1+v'u，所以det(I_n+uv')=1+v'u。
推 LivingLouder: 真的耶...好神奇的矩陣
→ LivingLouder: 感謝
→ LivingLouder: 請問這種矩陣有名字嗎？感覺很有趣
→ Vulpix      : 硬要說的話：Sylvester's determinant identity