[線代] 106年台大線代(A)考古題

[Desperato (Farewell)]

1. Show that if R^n = Union W_i, i = 1, 2, 3, ...
W_i are subspaces of R^n
Then R^n = W_i for some i


是說我對這題有印象，但板上找不到在哪

之前有一篇討論線代的文章，解答不太嚴謹
所以我去網路上翻了一遍線代考古題解答
結果發現大多都很舊了，有新的解答都是簡單的考卷
所以想說那我也來寫個解答好了，從難的寫到簡單的

然後馬上就碰壁了orz

雖然這題擺明可以用measure做，但線代...?

另外想問推薦的線代參考書
(明明修過課也當過TA卻從來沒課本是鬧那樣)
雖然隨便一本都好，但不希望東西太少
像TA那時候的課本沒有Jordan form，教授要自己加課

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好吧，打到這裡的時候已經想到證明了...

那問其他的好了，有其他地方已經有解答了嗎
或是如果把解答丟到網路上會發生什麼事情

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推 Vulpix      : 考古題無所謂吧？話說這題看起來像證明R^n不可約。
→ Vulpix      : 學校都上傳題目了，應該也不怕有人寫答案。
推 clambering  : 可以用baire category theorem
推 Vulpix      : 嗯，不可數的特性應該是要用到的。用A^n去測試，
→ Vulpix      : 可以得到反例。A=algebraic closure of Q。
→ Desperato   : 以前完全看不懂BCT, 現在勉強可以
→ Desperato   : 可是好像用到了Axiom of dep. choice
→ clambering  : 老實說我看不懂V大的反例，但是用BCT是沒問題，你呎
→ clambering  : ^n換成任何一個finite dimensional normes vector s
→ clambering  : ace都行，重點是finite dimension下你所有proper su
→ clambering  : space的interior都是empty,而BCT告訴你它們的可數un
→ clambering  : on的interior還是empty，所以用反證法就得證原題
→ clambering  : 至於跟axiom of dependency choice的關聯我不是很清
→ clambering  : 楚但看起來應該跟證明BCT的手法有關
推 Vulpix      : 我在XII那篇文章的推文有提到了：簡述一下，A^n可以
→ Vulpix      : 寫成他所有1-D subspace的聯集，而這些subspace總共
→ Vulpix      : 可數無窮多，排好順序就是一個個W_k。但A^n不是任何
→ Vulpix      : 一個W_k。提出這個反例是要說明「不可數」是關鍵。
→ Vulpix      : F可數，即使代數封閉也沒用。