Re: [線代] 106年台大線代(A)考古題

[XII (Mathkid)]

※ 引述《Desperato (Farewell)》之銘言：
: 1. Show that if R^n = Union W_i, i = 1, 2, 3, ...
: W_i are subspaces of R^n
: Then R^n = W_i for some i

Fact.
If V is a vector space over field F, k in Z^+ with k<|F|,
and W_1,..,W_k are proper subspaces of V,
then V≠∪_{i=1~k} W_i.

proof.
Suppose V=∪_{i=1~k} W_i.
W.O.L.G. we may assume W_i is not contained in ∪_{j≠i} W_j.
There are w_i in W_i-∪_{j≠i} W_j for i=1,..,k.
Since k≧2, consider a*w_1+w_2 for a in F.
Since k<|F|, by Pigeonhole Principle,
there are distinct a, b in F s.t.
u=a*w_1+w_2 and v=b*w_1+w_2 in W_n for some n.
Since u-v=(a-b)*w_1 in W_1-∪_{j≠1} W_j, we have n=1.
So w_2=u-a*w_1 in W_1, a contradiction (w_2 not in W_1).
QED

By above Fact. R^n=W_i for some i

: 雖然這題擺明可以用measure做，但線代...?
其實用鴿籠原理就可以了..

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.50.138.101
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※ 編輯: XII (110.50.138.101), 01/16/2019 14:51:38
推 Vulpix      : cardinality的「≧」可以直接套用嗎？
推 Vulpix      : A^n = ∪_{x \in A^n} Ax，A可數(用Q也行)。
→ Vulpix      : 但任何一個Ax都不是A^n。
→ XII         : W_i要是subspace
→ XII         : 應該說這裡的k是正整數
我把k改為正整數
※ 編輯: XII (110.50.138.101), 01/16/2019 15:27:01
→ Vulpix      : Ax={ax|a \in A}都是1-D subspace。
→ XII         : 剛看錯Vulpix的union..
推 Vulpix      : 我的意思大致上是：R^2 = ∪ 過原點的直線，但R^2不
→ Vulpix      : 是任何一條過原點的直線。這個方法似乎不能解決？
→ Vulpix      : 然後R^2這邊index不可數，所以我才換成Q或A。
→ XII         : 所以我才特別標明k in Z^+
→ XII         : 一般鴿籠的籠子要有限個才比較沒問題
→ XII         : 我會這樣寫是為了讓finite field也行
※ 編輯: XII (110.50.138.101), 01/16/2019 15:36:52
→ Vulpix      : 原命題對finite field沒意義啊。因為真的可以靠1-D
→ Vulpix      : subspace把F^n拼出來。
→ XII         : 我換個寫法應該會比較清楚
→ XII         : 主要是subspace個數太少就拼不出來
※ 編輯: XII (110.50.138.101), 01/16/2019 15:39:31
推 Vulpix      : 所以我才會問：能直接套到cardinality嗎？
→ Vulpix      : 原命題確實就是因為subspace個數太少(可數不夠)。
→ XII         : 其實寫W_1,..,W_k有隱含(?)k是正整數的意思
推 Vulpix      : 1,2,3,...的"..."不應該是隱含可數無窮多嗎？
推 Desperato   : 沒問題 XII的證明應該可以推到 R
→ XII         : 1,2,3,...,k 應該沒有隱含可數無窮多吧..
→ XII         : Vulpix的A^n不是反例吧,|{x in A^n}|=|A|(A可數)
推 Vulpix      : 原命題換成太小的field，會錯。這是我寫反例二字的
→ Vulpix      : 意思。
→ Vulpix      : 會錯都是是原命題，不是你想證的Fact。
→ XII         : 原來我一直誤會V大指的對象…