[線代] 矩陣相乘的rank

[LivingLouder (We’re living louder)]

以往我看到這種題目都是先計算nullspace，再利用rank-nullity theorem計算rank

但是這題就不知道該如何下手了，目前已知A的rank是3，B的rank是5，也就是說B為full
row rank，那請問(b)選項的rank(AB)該如何計算呢？

https://i.imgur.com/S1L9Gdw.jpg

謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.57.99.140
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※ 編輯: LivingLouder (61.57.99.140), 01/16/2019 21:43:06
→ Ricestone   : 一時之間我只想得到對任意x屬於R^5都有y屬於R^7
→ Ricestone   : 使By=x，所以CS(AB) = CS(A)
→ Ricestone   : CS(A)<=CS(ABBt)<=CS(AB)<=CS(A) 所以CS(AB)=CS(A)
有點難理解QQ，請問"<="是什麼意思
→ Ricestone   : 不過這樣感覺還是有點長
推 wohtp       : rank = dim of image
→ wohtp       : B是full rank，所以整個R^5都是B的image
→ wohtp       : 然後A把整個R^5送到dim = 3的子空間
→ wohtp       : 所以rank(AB) = 3
如果照這個想法來看的話，rank=最後一個image的dimension嗎，也就是最左邊矩陣的ran
k?
※ 編輯: LivingLouder (39.9.234.85), 01/17/2019 00:17:26
→ Ricestone   : 包含於
→ Ricestone   : 不會等於最後一個image，是因為full rank才這樣
→ Ricestone   : 我推文上半的方法就是w大的方法，下半的方法是覺得
→ Ricestone   : 寫向量有點不太空間，所以硬是只用矩陣空間寫
→ Ricestone   : 特別弄出BBt是因為這樣矩陣是可逆的
→ LivingLouder: 為何CS(A)會包含於CS(ABBt)
→ Ricestone   : 就是因為BBt是可逆的，CS(ABBt(BBt)^-1)<=CS(ABBt)
→ LivingLouder: https://i.imgur.com/K7cShjZ.jpg
→ LivingLouder: 可以這樣證明嗎
→ Ricestone   : 是可以啦，不過寫向量的話就不用矩陣，像上面那樣
→ Ricestone   : 敘述就可以了
→ LivingLouder: 我沒有學過那種表示方式，好難聯想到QQ