Re: [機統] 一個骰子相關的問題

[LimSinE (r=e^theta)]

※ 引述《yyhsiu (hsiu)》之銘言：
: 大家好，以下是個擲骰子相關的問題。覺得有點難，想不出好辦法想請問大家
: 擲(6面公平)骰子過程：不斷的丟，直到出現6就停止。
: 問：在已知整個數列是遞增(可以等於)的情況下，數列的長度的期望值是多少？
: ------------------------
: 我很暴力 (加上程式模擬驗證) 的求出答案了，但感覺有比較漂亮的想法
: 謝謝大家！

提供一個比較乾淨的算法，順便稍微推廣
假設骰子之點數為1,2,...,k，擲出點數i機率為pi (p1+p2+...+pk=1)
反覆擲骰子出現k就停止，問在數列遞增(可等於)之條件下，數列長度之期望值

1. 對於滿足條件之數列，k必為1個
若有ni 個 i (i=1,..,k-1) 則 ni>=0
此數列出現之機率 = p1^n1*p2^n2*...*p(k-1)^n(k-1)*pk

因此在擲出k時停止之數列遞增之機率
P = Sigma(n1,n2,...,n(k-1) >=0 ) p1^n1*p2^n2*...*p(k-1)^n(k-1)*pk
= { Sigma(n1) p1^n1} {Sigma(n2) p2^n2}... {Sigma(n(k-1)) p(k-1)^n(k-1)} * pk
= pk / (1-p1)(1-p2)...(1-p(k-1))

2. 此時數列長度 = n1+n2+...+n(k-1)+1
故期望值

E =
Sigma (n1,n2,...,n(k-1)>=0)[n1+n2+...+n(k-1)+1]p1^n1*p2^n2*...p(k-1)^n(k-1)*pk

對[] 拆開Sigma，前k-1項中之第i項為

Sigma (n1,n2,...,n(k-1)>=0) ni p1^n1*p2^n2*..*p(k-1)^n(k-1)*pk
={Sigma (n1) p1^n1} {Sigma (n2) p2^n2} ... {Sigma(ni) ni pi^ni}...
{Sigma(n(k-1) p(k-1)^n(k-1)} * pk
=(pi/1-pi) P
(最後一個等號利用 Sigma(n) np^n = p/(1-p)^2 = (p/(1-p)) {Sigma(n) p^n} )

而展開之最後一項就是P
合併得

E = P [ p1/(1-p1) + p2/(1-p2) + ... + p(n-1)/(1-p(n-1)) + 1]

3.
條件期望值 = E/P = p1/(1-p1) + p2/(1-p2)+...+p(n-1)/(1-p(n-1) +1
到這裡已經不能化簡了

4. 但是很容易發現，當p1=p2=...=pk=1/k時答案都=2，驗證了板友的猜想。
只是看起來應該只是恰巧而已。

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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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※ 編輯: LimSinE (219.85.182.226), 01/17/2019 02:15:29
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