[機統] X<=Y, imply E(X)<=E(Y)??

[sjgc5e1p9r (Bluesky)]

大家好，最近有個疑問，
假設X, Y為任意的隨機變數，
如果X<=Y （i.e. X小於或等於Y），
則E(X)<=E(Y)  （i.e. X的期望值小於或等於Y的期望值）。
這會成立嗎？或還需要什麼條件才會成立。

給大家特別的例子，

例子1：

令Y=X+1, E(Y)=E(X)+1,
因此X<=Y=X+1,
則E(X)<=E(Y)=E(X)+1, 成立。

例子2：

令X服從連續的均勻分配U[0,1]，Y服從連續的均勻分配U[1,2]。
因此X<=Y,
且E(X)=0.5<=E(Y)=1.5成立。

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→ cuttlefish  : 會 把定義寫出來
抱歉，能說的在詳細一點嗎？我從期望值的定義得不出來這樣的結果。
https://i.imgur.com/k6CJLGc.jpg
或是說X<=Y, 有保證f_X(X)<=f_Y(Y)??
※ 編輯: sjgc5e1p9r (110.28.98.122), 01/21/2019 21:03:07
※ 編輯: sjgc5e1p9r (110.28.98.122), 01/21/2019 21:05:18
→ qwop8765    : X襍的定義不就是f_X(x)蒭_Y(y)嗎？
→ qwop8765    : 亂碼是小於等於
→ wohtp       : 用定義證明 E(x) < max(x), E(y) > min(y)
→ wohtp       : 嚴格一點，請改成inf和sup和大／小於等於
推 simon81921  : 知道怎麼證期望值是線性的嗎？
→ llrabel     : 你學過隨機變數可以視為「樣本空間上的函數」這個看
→ llrabel     : 法嗎？
→ llrabel     : 這個看法在直觀式的機率中通常不是很強調，但如果用
→ llrabel     : 這個看法，你的問題就可以迎刃而解。