[幾何] diff. of a mapping between surfaces

[rtyxn (Steve)]

新年快樂。想問可微的定義，謝謝。

設S_1、S_2皆為regular surface（假設您看過do Carmo之類的書，定義就不多說了）

F:S_1→S_2

且p屬於S_1

請問定義F在p的可微性時，為何必須分別從S_1、S_2抓出一個參數化x、y，然後

看y^(-1)。F。x的可微性？更確切的說，我覺得很奇怪，為何多合成y^(-1)？為什麼

不看F。x就好？當初在定義ｆ:A\subset R^n→R^m 的可微性時，了不起就限制A是一個

開集，但印象中沒有在管值域f(A)的形狀，怎麼到曲面論就開始限制？請賜教，謝謝。

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推 Desperato   : 難道不是因為可微分只定義在 R^n -> R^m 嗎
推 RicciCurvatu: 你是對的 但這樣定義有個好處 就是我們不用去談這兩
→ RicciCurvatu: 個曲面究竟在多少維度 例如同樣的球面 你可以放在R3
→ RicciCurvatu:  也可以放在R4 但通過這樣的定義 你只要確認R2 到R2
→ RicciCurvatu: 的可微性 在之後的流形論 我們就不再談論這個曲面到
→ RicciCurvatu: 底是活在哪個維度中了 只考慮原本曲面本身的維度
推 Desperato   : 推
推 putintostyle: 我們不會做沒有座標的問題，所以會討論他拉到Rn之後
→ putintostyle: ，這樣的好處是座標粗乃惹
謝謝各位。稍微翻過微分幾何後，現在我是這麼理解的:

未來，在抽象的架構下，曲面不見得是歐氏空間中的點集，可能只是某些不具幾何意義
的物件所成的集合，在這種情況下，如要用歐氏空間的可微性定義F的可微性，必須透過
定義域在歐氏空間的x、y搭起橋梁，故有y^(-1)。F。x，為了保持一致性，在大學部的
曲面論就引進如此定義，到了研究所階段，歐氏空間的曲面映射就會形成一個特例。
※ 編輯: rtyxn (140.112.233.124), 02/05/2019 14:34:52
推 Vulpix      : 可是不具幾何意義的東西不會被叫做曲面啊。
→ Vulpix      : 很多時候外在結構很好用，但是用坐標的好處是可以
→ Vulpix      : 看出內蘊結構。外在結構幾乎存在，由嵌入定理保證
→ Vulpix      : 。
推 ruj9vul3    : 不具幾何意義？你說的是畫不出來吧（？
推 keroro321   : 你可想像球送到
→ keroro321   : 球的微分是指甚麼嗎?
→ keroro321   : 在"抽象空間"下，F。X是很難想像可微分的意義，但因
→ keroro321   : 為局部都是歐式空間下，y^-1的合成，讓你能具體定義
→ keroro321   : ("推廣")在抽象空間之間的微分是甚麼.
→ keroro321   : 球面->球面
※ 編輯: rtyxn (140.112.233.124), 02/22/2019 11:42:44