Re: [微積] 一題證明

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《oblivion87 (oblivion87)》之銘言：
: https://i.imgur.com/oPbriFT.jpg
: 請問第三題該怎麼證明呢？

如果不是常數函數，那一定有兩點函數值不同。

再根據 MVT，一定有一個 f'≠0 的地方。

正的那邊寫起來跟負的沒差多少，假設 f'(a)＜0 for some a。

因為 f' 遞增，所以在 a 左邊的 x，f'(x)≦f'(a)。

所以 f(x)＝f(a)-∫_x^a f'(t)dt≧f(a)-f'(a)*(a-x)，

        上面這行用微分寫的話就是

        [ f(x)-f(a) ]/(x-a)＝f'(c)≦f'(a)，因為 x＜c＜a。

而只要找負很大的 x，RHS 就可以任意地大，即 f(x) 一定可以超過 1，矛盾。

        微分版本繼續寫的話就是

        讓 x→-∞，LHS→0，所以 0≦f'(a)，矛盾。


重點就是 f≧任何一條切線的函數形式，

如果 f 不是常數，那就會大於等於一個一次函數，很容易就超過 1 了。


有些 f 只遞減不遞增，例如 exp(-x)，

當然也有只遞增不遞減的 f。

所以 f'(a) 的正負必須提出來討論。

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推 oblivion87  : 為什麼f'(x)<=f'(a)就可以說明那個不等式
推 oblivion87  : 是用積分均值定理推的嗎
→ Vulpix      : 是。
→ Vulpix      : 還沒教積分的話，也可以用微分版。
推 oblivion87  : 這10分還真難拿...感謝V大！
※ 編輯: Vulpix (61.230.130.38), 02/11/2019 22:25:28