[微積] 一題微分方程求解

[ac01965159 (leeleo)]

題目如下圖，我看解答最後的f(x^2)=exp(x^2) * cos(x^2)，但是我算的如下圖，是f(
x^2)=exp(x^2) * |cos(x^2)|，不知道為什麼解答不用加絕對值，因此最後的結果也差
了一個負號。
https://i.imgur.com/ed98jIn.jpg

謝謝版上的各位。


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 124.8.73.107
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1550257643.A.65F.html
推 Desperato   : 因為ln |f(x)| 也有絕對值
→ Desperato   : 後來絕對值會不見是因為你選定了常數是1
→ cuttlefish  : 這不會碰到 tan(pi/2)?
→ Desperato   : cos 會跟 tan 消掉
推 Vulpix      : 如果題目只有這樣，你沒答錯。
→ Vulpix      : 其實這題答案是多值：任意數。
→ Vulpix      : 但是補上一些f的平滑性要求後，就只剩解答的那個了
→ Vulpix      : 你想一下，你的f在√π是不能微分的，但解答的可以
推 Vulpix      : 少打/2
→ ac01965159  : To Desperato: 請教一下為什麼將c設為1之後絕對值
→ ac01965159  : 會消失呢？下圖是我的計算過程，最後好像得到的還
→ ac01965159  : 有絕對值。https://i.imgur.com/NXIkzpR.jpg
推 Desperato   : 就像 Vulpix 說的 有沒有要求 f 要一次可微分
→ Desperato   : 如果有的話 e^x |cos x| 在 x = pi/2 地方不可微
→ Desperato   : 但 e^x cos x 或 - e^x cos x 可以
→ Desperato   : 所以其實我們在第一行就會拆絕對值 兩邊都拆
→ Desperato   : 變成 f(x) = +- c e^x cos x 然後才代值
→ ac01965159  : To Vulpix:  因為答案是要求f(π)，所以答案不是應
→ ac01965159  : 該只有一點嗎？而且f(x^2)=-exp(x^2)cos(x^2)，好
→ ac01965159  : 像也會符合平滑的條件，那這樣f(x^2)有兩種答案的
→ ac01965159  : 意思嗎？
→ ac01965159  : D大可是如果後拆的話，就會發現c只能為1而不能為負
→ ac01965159  : 1，想問一下是什麼原因要先拆絕對值，謝謝。
推 Vulpix      : 你剛剛寫到的f，代0不是1，所以不是解。
→ Desperato   : 因為 |f(0)|=1, f(0) 可以是 1 or -1
→ ac01965159  : 是我這邊理解錯了嗎
→ ac01965159  : https://i.imgur.com/VlhK64n.jpg
→ ac01965159  : 因為我記得上下界一樣就是為0
→ ac01965159  : 第二行積分裡面應該是f(y)才對，寫錯。
推 Vulpix      : 以tan(x)的奇異點分段，每一段裡面，f(x)都是c*ex
→ Vulpix      : p(x)*cos(x)，但是每一段的c都可以不一樣。依照原
→ Vulpix      : 題，只能確定含0的那一段，c是1，其他段的c都是未
→ Vulpix      : 定。如果要把全部C^1地串起來，就會要求每一段的c
→ Vulpix      : 都是1。
推 Vulpix      : 其實你的ODE只要跨過那些奇異點就會怪怪的，所以
→ Vulpix      : 比較完善的解法是一段一段解，再接起來。)
→ Vulpix      : 那些點也剛好會是f的零點，回頭檢查自己的計算過程
→ Vulpix      : 看看，是不是曾經用0除過呢？
→ ac01965159  : 不好意思，檢查一遍後還是沒能找出哪裡用0除過...
→ ac01965159  : 而且像這種題目，又該如何找出別段的C呢？https:/
→ ac01965159  : /i.imgur.com/0lkUJIx.jpg
→ ac01965159  : 感謝大大。
→ ac01965159  : 因為他也沒給其他的資訊，只能知道由題目推得x=0那
→ ac01965159  : 一點的c
推 Vulpix      : 除以 f(x^2)，這個步驟在 √(π/2) 這類的 x 上就
→ Vulpix      : 是除以 0。只要不碰到他們就沒關係。
推 Vulpix      : 題目長這樣，那就沒救了XD f(π) 是任意的。
→ Vulpix      : 你可以驗算看看，exp*|cos| 真的也是原方程式的解
→ Vulpix      : 。
→ ac01965159  : 我知道了，謝謝大大耐心的講解。