[中學] 一元二次 & 因式分解

[vvrr (vvrr)]

有兩題，想到的方法似乎都卡住了，因此上來求救

1. 設f(x) = mx^2 + (n+1)x + (n+5)
   若對任意實數 n，恰存在兩相異實數 a,b使得 f(a)=a，f(b)=b，則實數m範圍為？

   這題我把它轉換成「y=f(x)與y=x有相異兩實根」去解判別式>0，
   但是到 n^2 > 4(n+5)m 就卡住了…

2. 設 x^21 + 1 = f(x)g(x)，其中
   f(x)為 8次整係數多項式
   g(x)為13次整係數多項式
   求f(2)

   這題我試了兩種分解方式，都湊不出8次和13次的結果
   1)  (x^7)^3 + 1 = (x^7 + 1)(x^14 - x^7 + 1)
                   = (x + 1)(x^6...+1)(x^14...+1) 1次6次14次

   2)  (x^3)^7 + 1 = (x^3 + 1)(x^18 - x^15 ... +1)
                   = (x + 1)(x^2...+1)(x^18 ... +1) 1次2次18次


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.147.7.105
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1550306457.A.3F8.html
→ Desperato   : 想想 2) 的 x^2-x+1 是不是 x+1 的因式? 不是
→ Desperato   : 是不是 x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 的因式? 也不是
→ Desperato   : 那 x^2-x+1 不就只能是 x^14-x^7+1 的因式了嗎
→ vvrr        : !
   由1) = (x + 1)(x^6...+1) (x^2 - x + 1)
          (x^12 + x^11 - x^9 - x^8 + x^6 - x^4 - x^3 + x + 1)

      ∴ f(x) = (x^6 - x^5 ... + 1)(x^2 - x + 1)
         f(2) = 43 * 3 = 129

   感謝 <(_ _)>


※ 編輯: vvrr (27.147.7.105), 02/16/2019 17:20:07
推 Desperato   : 1. n 的判別式 < 0
   所以要再轉換： n^2 > 4(n+5)m  對所有n均成立

   ==> n^2 - 4mn - 20m > 0       對所有n均成立

   ==> Δn = 16m^2 + 80m < 0 ==> -5 < m < 0

   非常謝謝
※ 編輯: vvrr (27.147.7.105), 02/16/2019 17:23:04
※ 編輯: vvrr (27.147.7.105), 02/16/2019 17:24:30
推 Vulpix      : 小心一下，1)整係數的話還能允許答案*(-1)。
→ vvrr        : 是耶，都忘記了0rz....謝謝