Re: [微積] 一題微分方程求解

[Vulpix (Sebastian)]

推文推得太累了，用回的整理一下。


原題目中有一個積分方程：f(u) = 1 + ∫_0^u f(y)*( 1-tan(y) ) dy

                        (其中 u 代表原題目中的 x^2。)

顯然 f(0)=1。

如果 f 和 tan 的解析性質夠好的話，f'(u) = f(u)*( 1-tan(u) )。

        (例如 f 連續、tan 不發散等等。)

        通常會先除以 f(u) 藉此分離 f(u) 和 u，

        但是從小到大，分母就是不准放零，此處也不例外，

        所以我們只在 f(u)≠0 的地方這樣計算。

        但目前還不知道除了 tan(u) 發散時以外 f 什麼時候會是 0。

得到 f'(u)/f(u) = 1 - tan(u)

積分得到 ln|f(u)| = u - ln|sec(u)| + C

然後 |f(u)| = e^u * |cos(u)| * e^C

拆開 LHS 的絕對值：f(u) = ± e^u * |cos(u)| * e^C

        代入 f(0)=1，得 C=0，且符號取正，所以 f(u) = e^u * |cos(u)|。

或者拆開兩邊的絕對值：f(u) = ± e^u * cos(u) * e^C

        代入 f(0)=1，得 C=0，且符號取正，所以 f(u) = e^u * cos(u)。

怎麼兩個答案長得不一樣？上面的黃字就是原因。

        cos(u) 在 u = π/2, 3π/2, 5π/2, ... 這些地方都是 0。

        所以我們剛才解 f(u) 的時候，其實只在

        [0,π/2), (π/2,3π/2), (3π/2,5π/2), ... 這些區間上解 ODE。

        (不考慮 u<0 是因為 u=x^2，所以原積分方程沒有定義 u<0 的 f(u)。)

        然後因為 f(u) = 1+一坨積分(這個積分只有 removable singularity)，

        所以 f 其實是連續函數 on [0,∞)，蘊涵 f((n+0.5)π) 都是 0。

但是在各段區間上，f(u) = A * e^u * cos(u) 仍然是唯一可能的解。

我們從 [0,π/2) 開始，依序往右找各區間的 A。

        因為 f(0)=1，所以 [0,π/2) 的 A=1。

接著是 (π/2,3π/2)，

        f(u) = 1 + ∫_0^{π/2} e^y*(cos(y)-sin(y)) dy

                 + ∫_{π/2}^u A*e^y*(cos(y)-sin(y)) dy

             = A * e^u * cos(u)

咦？怎麼又繞回來了，看不出 A 啊！

對！真的看不出來。A 怎麼選都可以。

        所以 f(π) = -A * e^π 也變成一個很隨便的數字。

依此類推，後面每一段的 A 都可以隨便取，取 A=0 也行。

        上面紅字的兩個解都只是其中一個解，

        一個的 A 是 1,1,1,...，另一個是 1,-1,1,-1,...。


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究其根本，問題是出在：∫dx/x = ln|x| + C。

其實上式的正確寫法應該是∫dx/x = ln(x) + C_1, x>0
                                 ln(-x)+ C_2, x<0

兩側的積分常數可以完全不同。

所以只要被積函數的分母經過 0，就要切開來看。


例：xy' = 2y

這是一個很簡單的 ODE，即使在坊間講義上也是基礎練習題。

「詳解」通常是這麼寫的：

        原式 => y'/y = 2/x => ln|y| = 2*ln|x| + C => y = A*x^2

        (其中 A = ±e^C)

但是這個解答過程是有很多瑕疵的。

        1. 完全沒有考慮到 A=0 (即 y=0) 的可能，明明 y=0 顯然是解。

        2. 其實 x>0 和 x<0 可以用完全不同的 A。

正確的解是 y = A*x^2, x>0
               B*x^2, x<0
               0    , x=0

           其中 A,B 是任意常數。

更悲劇的是，如果我們只要求 C^1 的話，上面這個解才是此題的正確答案。

如果希望 A=B，那我們至少得要求 y"(0) 存在。


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寫這些，是希望能有更多人知道要小心對待 ODE 的奇異點。

有些方程式的解就是在仔細檢查這些條件的時候才會找到，例如 Clairaut's eq.。


※ 引述《ac01965159 (leeleo)》之銘言：
: 題目如下圖，我看解答最後的f(x^2)=exp(x^2) * cos(x^2)，但是我算的如下圖，是f(
: x^2)=exp(x^2) * |cos(x^2)|，不知道為什麼解答不用加絕對值，因此最後的結果也差
: 了一個負號。
: https://i.imgur.com/ed98jIn.jpg
: 謝謝版上的各位。

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1550332878.A.C93.html
推 ac01965159  : 先謝謝大大的回答。
→ ac01965159  : 但是想問一下，關於上面的黃字是如何去造成紅字的
→ ac01965159  : 兩個答案不同。
→ ac01965159  : 因為上面說到，沒考慮到f(u)=0，所以導致紅字有兩
→ ac01965159  : 個不同結果，但是，為什麼會是這種結果而不是別的
→ ac01965159  : 結果呢？
我們以為可以做的：各段可以統合起來共用一種拆絕對值的方法。

紅字的兩種結果只是提醒我們這裡有錯誤，是我們在處理絕對值的時候出了錯。

解不應該隨著我們更換作法而產生不同。

我們該做的：分段去拆絕對值，每一段各算各的。


至於為什麼是這兩個？你可能覺得他倆很特別，但不然。

硬要說的話，頂多就是：

        e^u * cos(u) 是在我們把絕對值全拆了的時候，寫出的最簡單形式，

        幾乎是這個緣故，導致他是所有解中最平滑的那一個。

        (也因為他最好表示，所以不太嚴謹的教科書給的答案都是這個。)

        e^u * |cos(u)| = |e^u * cos(u)| 則是因為我們絕對值只拆了一半，

        所以還留了一個絕對值。
※ 編輯: Vulpix (111.243.89.43), 02/17/2019 02:09:25
推 ac01965159  : 不好意思最後還有個疑問，就是這邊不太了解是怎麼
→ ac01965159  : 積分的，能解釋一下嗎？謝謝。
→ ac01965159  : https://i.imgur.com/D39ma2D.jpg
→ Vulpix      : 基本上都是 e^y*cos(y)，積分方法翻翻課本都有。
推 ac01965159  : 其實就是我算到這邊的時候，第一個積分會多一個A，
→ ac01965159  : 進而導致後面的結果也不同。
→ ac01965159  : https://i.imgur.com/y9MWAtn.jpg
→ Vulpix      : 那一項的A是1喔。因為是第一段。
推 ac01965159  : 哦~看懂了，謝謝。