推 Desperato : 推 這個快多了 02/24 12:57
推 raiderho : 讚 02/25 03:30
推 madokamagika: 解得好漂亮 感謝分享 02/25 11:12
※ 引述《madokamagika (まどか☆マギカ)》之銘言：
: 玩遊戲時想到的題目 不太確定這算不算機率
: 現在有一個n面骰
: 每擲一次就依擲出點數前進
: 現在有一個距離起點極遠的格子
: 試問在這過程中剛好停留此格而不是直接穿越的機率是多少
: 用excel拉答案應該是 2/(n+1)
: 但想不太出算法
來做個更一般的
設丟出 k 點的機率為 p(k) (k=1,..,n), 設有停在 m 的機率為 q(m) (m=0,1,..)
令 F(x)=Σ_{m≧0} q(m)*x^m
易知 F(x)=1+{p(1)x+p(2)x^2+..+p(n)x^n}+{p(1)x+p(2)x^2+..+p(n)x^n}^2+..
1
= ------------------------------
1-(p(1)x+p(2)x^2+..+p(n)x^n)
1
= -------------------------------------------------------------
{1-x}{p(1)+p(2)(1+x)+p(3)(1+x+x^2)+..+p(n)(1+x+..+x^(n-1))}
因 |p(1)x+p(2)x^2+..+p(n)x^n|≦1 for |x|≦1 (by三角不等式)
且 |x|≦1 時, |p(1)x+p(2)x^2+..+p(n)x^n|=1 iff x=1
故 p(1)+p(2)(1+x)+p(3)(1+x+x^2)+..+p(n)(1+x+..+x^(n-1))
= (1-u_1*x)(1-u_2*x)..(1-u_(n-1)*x), 其中 u_1,..,u_(n-1) in {z in C: |z|<1}
a
故 F(x) = ----- + (...)
1-x
c_i(x)
(...) 內為形如 ------------- 的線性組合 (r in Z^+, c_i(x) in C[x])
(1-u_i*x)^r
且 a = 1/(p(1)+2p(2)+..+np(n))
故 q(m) = [x^m] F(x) = a + (...)
(...) 內為形如 m^r*u_i^m (r in N) 的線性組合
故 lim_{m→∞} q(m) = a = 1/(1p(1)+2p(2)+..+np(n))
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